Базис. Разложение вектора по базису.

Векторы и скаляры. Линейные действия над векторами.

Вектором а, называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а. Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |a|=|AB|. Модуль вектора – это скаляр.

Вектор нулевой длины, называется нулевым вектором и обозначается символом О. Векторы а и в, называются коллинеарными если они параллельны одной прямой. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

В b

a C

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль, параллельны и направлены в одну и ту же сторону.

a b

К линейным действиям над векторами относятся их сложение и умножение вектора на скаляр.

Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Приложив к точке В заданный вектор в, получим некоторый направленный отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком АС, называется суммой векторов а и в и обозначается а + в. Суммой векторов а+в+с называется вектор R=OC, замыкающий ломаную ОАВС построенную

из данных векторов.

В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах ОА=а и ОВ = в, один вектор – диагональ ОС есть сумма а+в, а другой ВА есть разность а-в. Если дан вектор а=АВ, то вектор ВА называется противоположным вектором к вектору а и обозначается – а. Очевидно, что а+(-а)= 0. Вычесть какой - либо вектор – это значить прибавить противоположный. Отсюда следует, что в + (а - в)=в + [в + (-в)]=а+0=а.

Система векторов а ֽ ..., аn называется линейно-зависимой, если существуют числа λ1,..., λn такие, что хотя бы одна из них отлично от нуля и λ1 а 1 +...+ λn а n =0. В противном случае система называется ли нейно – независимой.

Проекция вектора.

Пусть вектор а составляет угол φ с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой пр_е ≤ |а| · cosφ.

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекцией составляющих векторов на ту же ось:

Пр_е (а + в)=пр_еа + пр_ев.

Пусть даны точки А(x₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂). Проекция вектора а=АВ на оси координат: пр_x АВ=X=х₂-х₁

Пр_y АВ=Y=у₂-у₁ (1)

Пр_z АВ=Z=z₂-z₁

т.е а = {х₂-х₁; у₂-у₁; z₂-z₁}

Базис. Разложение вектора по базису.

Если е₁, е₂, е₃ – базисы, то а = х₁е₁+х₂е₂+х₃ е₃ (2)

Числа х₁, х₂, х₃ называются координатами вектора а в базисе β=(е₁,е₂,е₃). Запись (2) называют также разложением вектора а по базису β.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: () = = | |×| |×cosφ

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:

Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство): =
Распределительное свойство. ( + ) = + .
Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т. е. ²= | |²
Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т. е. (λ ) = (, λ ) = λ()
Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т. е. (λ + μ , ) = λ(, ) + μ(, )

Косинус угла φ= () между двумя ненулевыми векторами и равен cosφ= .

Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Пусть =a_x + a_y + a_z и =b_x + b_y + b_z , тогда =a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z, здесь учтены, что = = = 0 и = = = 1

Поэтому косинус угла φ между двумя векторами и определяется cosφ= (a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)/ (| || |)

Для перпендикулярных векторов и имеем φ=π/2 и, следовательно, cosφ=0, или a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0.

Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор = × =[a.b], для которого:

1. Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. |c| = |a | |b|sinφ,где φ=∟(), (0≤φ≤π) (рис 4.1);

рис 4.1

2. Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. _┴ и _┴ ;

3. Если векторы неколлинеарные, то векторы , образуют правую тройку векторов.

Основные свойства векторного произведения.

1. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е. × =-( × )

2. Векторный квадрат равен нуль-вектору, т. е. × =0

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т. е. если λ-скалярное, то (λ × ) = ( ×λ ) = λ( × )

4. Для любых трёх векторов a,b,c справедливо равенство ( + )× =()+()

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и : × =0

Пусть =a_x + a_y + a_z и =b_x + b_y + b_z , тогда

× = | a_y a_z| - | a_x a_z| + | a_x a_y|

Для удобства последняя формула записывается в виде определителя третьего порядка

| |

× = | a_x a_y a_z|

|b_x b_y b_z|

Под смешанным произведением и понимается число

Построим параллелепипед (рис 4.2),

рис 4.2

Ребрами которого, исходящего из общей вершины О, являются векторы и . Тогда | × |=S представляет собой площадь параллелогромма, построенного на векторах и , т. е. площадь основания параллелипипеда. Высота этого параллелипипеда равна H= ±nр = ±| | cosφ, где = × и знак плюс соответствует острому углу φ=∟(, ), а знак минус тупому углу φ. В первом случае векторы , образуют правую тройку, а во втором- левую тройку. Поэтому = = S np =±V, т. е. объём параллелипипеда, построенного на векторах , . Отсюда =±V.