Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Активный раздаточный материал

Математика 1 ФОЕНП

Кредит 3 1-ый семестр

Лекция №14 «Интегрирование рациональных функций» 2013-2014 уч. год

Краткое содержание лекции

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Здесь мы рассмотрим метод нахождения интегралов вида и .

. Выносим из квадратного трехчлена коэффициент и выделяем в нем полный квадрат.

Делаем в интеграле замену переменной , , в результате он приводится к виду или .

Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов в соответствии с двумя слагаемыми числителя. В первом интеграле делаем замену переменной . В результате оба слагаемых - табличные интегралы.

Интегрирование рациональных функций

Самый важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, представляют рациональные функции: , где - многочлены.

Если рациональная дробь неправильная, то с помощью деления на можно выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь. Например:

Далее рассматриваем интегрирование только правильных рациональных дробей (т.е. дробей у которых степень многочлена в числителе ниже степени многочлена в знаменателе).

Рассмотрим вопрос о разложении рациональных дробей на простые дроби. Из алгебры известно, что всякий многочлен с вещественными коэффициентами степени выше второй разлагается единственным образом на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффициентами.

Пусть многочлен разложен на множители в следующем виде:

Например. 1) 2)

3)

Интегрирование функций вида , где - рациональная функция относительно аргументов

С помощью выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и замены переменной интеграл приводится к одному из следующих трех видов ( -рациональная функция);

. . Здесь с помощью замены переменной , = , этот интеграл преобразуется к виду .

. Интегралы вида находятся с помощью замены , при этом , тогда .

. Интегралы вида находятся с помощью замены , при этом

.

Для специальных видов рациональной функции иногда проще использовать другие методы нахождения интегралов. Рассмотрим два из них.

. Интегралы вида находятся с помощью замены переменной , .

. Интеграл , где - многочлен -ой степени можно записать в виде где - некоторый многочлен степени , -число. Коэффициенты и находятся методом неопределенных коэффициентов после дифференцирования обеих частей записанного равенства.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

В этом пункте мы рассмотрим нахождение интегралов вида ,

где - рациональная функция относительно .

Проверим, что такие интегралы с помощью универсальной замены переменной

всегда сводятся к интегралам от рациональных функций. Так как , то .

В результате получаем, что .

Задание на СРС

1. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.(конспект) [1,3,4].

2. Решение задач по теме [6; 2 - стр.340 № 1-6 ].(Срок сдачи -14 неделя)

Задание на СРСП

1. Смешанные задачи на интегрирование [2. ИДЗ-8.1,2]

Контрольные вопросы:

1. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

2. Интегрирование рациональных функций.

3. Интегрирование иррациональных функций.

4.Какая подстановка называется универсальной тригонометрической?

Глоссарий

№	На русском языке	На казахском языке	На английском языке
	Интегрирование Рациональная функция Иррациональная функция	Интегралдау Рационал функциясы Иррациоанал ф-сы

Список литературы

Основная:

1. К.Кабдыкайыр. Сборник задач по Высшей математике. Учебное пособие. Алматы: «Дәуір», 2007. -408стр.

2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов.- М.: Оникс, 2007, 2006

3. Байбазаров М.Б., Божанов Е.Т., Уразмагамбетова Э.У.Лекционный курс по математике. Учебное пособие, часть 1. Алматы, КазГАСА, 2003.

4. Индивидуальные задания по высшей математике под общей редакцией доктора физико-математических наук проф. А.П. Рябушко. Учебное пособие. II-часть.Минск, «Высшая школа», 2002г.

Дополнительная:

5. Сыдыкова Д.К. Математика 1. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. Алматы: КазГАСА, 2008.

6. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Высшая математика для экономистов. Учебник. Изд. Объединение «ЮНИТИ»,2006. - 479стр.