Як було встановлено раніше, для кожного многочлена 
існує своє поле розкладу, а саме таке розширення 
поля 
, в якому многочлен 
розкладається на добуток лінійних множників. Серед числових полів найбільш важливу властивість має поле 
усіх комплексних чисел. В полі будь-який многочлен розкладається на лінійні множники 
- алгебраїчно замкнуте (єдине числове поле, що має таку властивість).
Властивість модуля многочлена
Теорема 21. Якщо 
- многочлен ненульового степеня, то для довільного додатного числа 
можна знайти таке число 
що при 
виконується нерівність 
Наслідок 1. Многочлен 
може мати тільки такі корені, модуль яких менший від числа
(56)
де 
Наслідок 2. При 
модуль старшого члена многочлена 
більший за модуль суми всіх інших членів цього многочлена.
Теорема 22. Многочлен непарного степеня над полем 
дійсних чисел має принаймні один дійсний корінь.
Теорема 23. Кожний многочлен степеня 
з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.
[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.315-317.]
Теорема 24. (Основна теорема теорії многочленів). Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами
має хоча б один комплексний корінь.
Наслідки з основної теореми теорії многочленів
Теорема 25. Кожний многочлен, степінь якого вищий за одиницю, звідний у полі комплексних чисел.
Наслідок. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював 1.
Теорема 26. Кожний многочлен 
го степеня над полем комплексних чисел, єдиним способом (з точністю до порядку множників) розкладається на лінійні множники в цьому полі
(57)
де 
корені, а 
старший коефіцієнт многочлена 
Теорема 27. Многочлен го степеня має в полі комплексних чисел точно 
коренів.
Теорема 28. Якщо комплексне число 
є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами
(59)
то спряжене комплексне число 
також є коренем цього многочлена.
Теорема 29. Якщо комплексне число є коренем 
ї кратності 
многочлена 
з дійсними коефіцієнтами, то спряжене комплексне число 
є коренем многочлена тієї ж кратності 
[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.320-321.]
Теорема 30. Кожний многочлен над полем , степінь якого перевищує 2, є звідним у цьому полі.
Теорема 31. Кожний многочлен над полем дійсних чисел допускає єдиниий розклад на незвідні множники у цьому полі виду:
(62).
[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.321-322.]
Розміщення дійсних коренів многочлена
Розглянемо питання, пов‘язане з розміщенням на дійсній осі коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами.
Зробимо зауваження щодо комплексних коренів многочленів. Ці зауваження є наслідками раніше з‘ясованих фактів.
1. Усі корені многочлена 
лежать усередині круга з центром у точці 
і радіусом
. (63)
Це випливає з наслідку 1 теореми 21. (Лекція 1 модуль 3).
2. Комплексні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами розміщені симетрично відносно дійсної осі.
Теорема 32. Усі дійсні корені рівняння
містяться в інтервалі 
, де 
.
Теорема 33 (Ньютона). Число 
є верхньою межею додатних коренів многочлена , якщо при 
многочлен має додатне значення, а всі його похідні – невід‘ємні значення.
Число дійсних коренів
Число дійсних коренів з урахуванням кратності або дорівнює степеню рівняння, або на парне число менше. Будь-яке рівняння непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.
У багатьох випадках число дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами можна визначити за правилом Декарта. Перш ніж сформулювати це правило, зробимо деякі зауваження.
1. Ми будемо розглядати кількість змін знаків у даній упорядкованій скінченній послідовності дійсних чисел
(64)
розуміючи під цим кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки.
Наприклад, у послідовності 
є 3 зміни знаків, а в послідовності 
є 0 змін знаків.
Якщо які-небудь з чисел дорівнюють 0, то при підрахунку числа змін знаків їх до уваги не беруть.
Зауважимо, що коли перше й останнє числа 
і 
даної послідовності мають однакові знаки, то кількість змін знаків у послідовності (64) парна; якщо ж і мають протилежні знаки, то кількість змін знаків непарна.
2. Припускатимемо, що розглядуваний многочлен не має кратних коренів, оскільки завжди можна відокремити кратні множники.
Правило Декарта. Число додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами
(65)
дорівнює числу змін знаків у послідовності його коефіцієнтів або на парне число менше.
Зауваження.
1. Правило Декарта можна застосувати і для оцінки числа від’ємних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами.
2. Коли наперед відомо, що всі корені даного рівняння 
дійсні, то правило Декарта дає точну відповідь на питання про число дійсних коренів, а саме: число додатних коренів дорівнює числу змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена а число від’ємних коренів - числу змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена 
.
У більшості випадків наперед невідомо, чи всі корені рівняння дійсні. В зв’язку з цим правило Декарта, хоч і зручне з точки зору простоти застосування, не дає повної відповіді на питання про число дійсних коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами та їх розподіл між додатною і від’ємною півосями.
Відокремлення коренів методом Штурма
Далі перейдемо до питання скільки дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами лежить у довільному, наперед заданому інтервалі 
дійсної осі.
Повну відповідь на це питання дає метод Штурма.
Нехай - деякий многочлен з дійсними коефіцієнтами, 
Припустимо, що не має кратних коренів.
Знайдемо похідну 
і побудуємо для та алгоритм, подібний до алгоритму Евкліда; відмінність полягатиме в тому, що всі остачі 
ми братимемо з протилежними знаками, тобто 
Позначимо 
Таким чином, одержимо:
(66)
де 
так як і взаємно прості (за припущенням, не має кратних коренів) і тому 
Послідовність многочленів
(67)
називається рядом функцій Штурма, або просто рядом Штурма.
У методі Штурма нас цікавитимуть не самі функції ряду Штурма або їх значення, а лише знаки числових значень цих функцій. У зв’язку з цим функції ряду (67) можна знаходити з точністю до сталого додатного множника, тобто, виконуючи ділення з остачею, домножати на сталі множники; ці множники обов’язково повинні бути додатні, щоб не змінювались знаки значень многочленів.
Введемо поняття числа змін знаків у ряді Штурма. Візьмемо в ряді функцій (67) 
де 
- якесь дійсне число. Тоді скінченна послідовність функцій (67) перетворюється в послідовність чисел 
, 
Число змін знаків у цій послідовності позначатимемо через 
і називатимемо його числом змін знаків у ряді Штурма в точці .
Основні властивості ряду функцій Штурма
Лема 1. Ніякі дві сусідні функції ряду Штурма (67 ) не мають спільних коренів.
Лема 2. Якщо 
є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.
Лема 3. Якщо 
, зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду Штурма, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не змінюється.
Лема 4. Якщо зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма зменшується на одиницю.
[Доведення самостійно. Див. Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч.2. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.332-333.]
Теорема 34 (Штурма). Якщо i 
довільні дійсні числа, які не є коренями многочленна , то число 
дійсних коренів многочленна в інтервалі дорівнює 
, де 
і 
є число змін знаків у ряді Штурма відповідно в точках i .
Зауваження 1. Теорема Штурма справедлива і для випадку, коли кінці інтервалу можуть бути коренями многочлена. Тільки тоді 
є число коренів не на інтервалі , а на півінтервалі 
(або на відрізку 
.
Зауваження 2. Якщо якась з проміжних функцій ряду Штурма 
не має дійсних коренів, то можна наступних функцій Штурма не знаходити і користуватися в теоремі Штурма «укороченим» рядом
Дійсно, число змін знаків у «залишковому» ряді Штурма
, 
(68)
є сталими при будь-якому . Адже може пройти лише через корінь проміжної функції ряду (68), що, за лемою 3, не впливає на число змін знаків у цьому ряді. Отже, «залишковий ряд» (68) не впливає на різницю 
.
Зауваження 3. Якщо має кратні корені, то остання функція ряду Штурма 
вже не є сталою. Але тоді 
і можна розглянути ряд многочленів
(69)
який вже має всі властивості, зазначені в лемах 1-4.Через те що число змін знаків у ряді (69) збігається з числом змін знаків у звичайному ряді Штурма 
то теорема Штурма залишається в силі. Слід лише урахувати, що вона дає в цьому випадку число дійсних коренів не самого многочлена , а многочлена 
(в якому вже немає кратних коренів), тобто число різних коренів многочлена в без урахування їх кратності.
