Теорема про ділення з остачею

Математичний словник

Кільце многочленів над областю цілісності. НСД та НСК многочленів

Означення 1. Многочленом ( поліномом) від однієї змінної над областю цілісності називається вираз виду

(1)

де - довільне ціле невід’ємне число, - елементи , а - деякі символи; називається -м степенем змінної а - -м коефіцієнтом многочлена (1) або коефіцієнтом при

Комутативне кільце, в якому не існує дільників нуля, називається областю цілісності.

Означення 2. Вираз називається -м членом або членом го степеня многочлена

(2),

- нульовим або вільним членом многочлена (2).

Означення 3. Відмінний від нуля член многочлена степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнти - старшими коефіцієнтами, а його степінь – степенем многочлена (позначається («degree» - «степінь»)).

Многочлени нульового степеня називаються також константами.

Дії над многочленами.

Нехай дано два многочлена

Означення 4. Многочлени і називаються рівними між собою і записують якщо канонічні форми цих многочленів збігаються, тобто

. (3)

Якщо і відмінні від , то (3) можна переписати у вигляді

(4)

а для випадку нуль-многочлена можна записати

.

Нерівність тут означає, що не має членів ненульового степеня.

Означення 5. Сумою многочленів і називається многочлен

Те, що є сумою многочленів і , записують так:

Означення 6. Добутком многочленів і називається многочлен

де

при , при .

Те, що є добуток многочленів і , записують так:

Наслідок 1. Якщо то і

Наслідок 2. Степінь суми двох многочленів не перевищує більшого з степенів даних многочленів:

Наслідок 3. Для довільного многочлена і

Наслідок 4. Якщо , то і

Наслідок 5. Якщо то

Наслідок 6. , тобто при множенні двох многочленів, з яких хоч один є нуль-многочленом, дістаємо нуль-многочлен.

Теорема про ділення з остачею

Теорема 1. Для будь-яких двох многочленів і із кільця можна знайти в такі многочлени і , що

(5),

при цьому степінь менша за степінь або Многочлени і визначаються однозначно.

Зауваження. Звичайно многочлен називається неповним часткою від ділення на , а многочлен – остачею від ділення на .

Означення 7. Многочлен тоді і тільки тоді ділиться на многочлен якщо існує такий многочлен що виконується рівність

(7)

Якщо многочлени і мають раціональні або дійсні коефіцієнти, то і многочлен матиме раціональні, або відповідно дійсні коефіцієнти.

Властивості подільності многочленів

Відношення подільності многочленів в кільці має такі властивості:

.

7. Многочлени і тільки вони будуть дільниками многочлена , який має таку ж степінь, як і .

8. тоді і тільки тоді, коли ,

9. Будь-який дільник одного із двох многочленів і де буде дільником і іншого многочлена.

Довільний многочлен з кільця ділиться з остачею на будь-який ненульовий многочлен з цього кільця, причому частка i остача визначаються однозначно.

Кільце многочленів над довільним полем є кільцем головних ідеалів. Кільце многочленів над полем є евклідовим.

Алгоритм Евкліда. Найбільший спільний дільник многочленів

Означення 8. Якщо многочлен є дільником многочлена і многочлена , то він називається спільним дільником многочленів і .

Означення 9. Спільний дільник многочленів і , який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів, називається найбільшим спільним дільником многочленів і і позначається через .

Найбільший спільний дільник многочленів визначається з точністю до сталого множника однозначно.

Теорема 2. Для будь-яких двох многочленів існує найбільший спільний дільник , причому можна подати у вигляді

(8)

Ця теорема не потребує доведення, оскільки випливає з теореми 1.

Наслідок. Многочлени взаємно прості тоді і тільки тоді, коли існують многочлени такі, що

(9)

З цього наслідку випливають властивості взаємно простих многочленів.

Теорема 3. (Безу) Для будь-якого елемента остача при діленні многочлена на дорівнює .

Властивості взаємно простих многочленів

1.

.

2.

.

3.

.

Означення 10. Спільним кратним многочленів називається будь-який многочлен такий, що . Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів називається спільне кратне і , яке ділить будь-яке інше спільне кратне цих многочленів; НСК многочленів і позначають .

Теорема 4. Для будь-яких відмінних від нуля многочленів найменше спільне кратне існує і визначається однозначно з точністю до сталого множника.

Незвідні многочлени

Означення 11. Многочлен називається незвідним у полі , якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочленів виду , де .

Означення 12. Многочлен називається звідним у полі , якщо і коли існують такі многочлени і , що , причому і .

Поняття звідність або незвідність многочлена є поняття відносне і залежить від поля , над яким многочлен розглядається. Будь-який многочлен, який належить можна вважати також многочленом над полем де довільне розширення поля .

Якщо звідний у полі , то він звідний і у будь-якому розширенні цього поля. Але цілком можливо, що многочлен , незвідний у полі , виявиться звідним у деякому розширенні поля .

Теорема 5. Многочлен першого степеня над довільним полем незвідний у цьому полі.

Властивості незвідних многочленів

1. Будь-який многочлен першого степеня незвідний у полі .

2. Якщо -многочлен, незвідний у даному полі, то і многочлен , де - довільна відмінна від нуля константа, незвідний у цьому полі.

3. Якщо -многочлен, незвідний у даному полі многочлен, а - довільний многочлен над цим полем, то або , або .

4. Якщо незвідний у даному полі многочлен ділиться на інший незвідний у цьому полі многочлен , то ці многочлени збігаються з точністю до сталого множника.

5. Якщо добуток многочленів і ділиться на незвідний многочлен , то хоча б один з цих многочленів ділиться на .

Канонічний розклад многочлена

Теорема 6. Кожний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді:

, (13)

де всі є незвідними многочленами у полі . Зображення (13) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів .

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді

, (18)

де - попарно різні (неасоційовані) многочлени, незвідні у полі . Це зображення єдине з точністю до сталих множників.

Зображення (18) називають канонічним розкладом многочлена у полі .

Означення 13. Якщо многочлен входить у канонічний розклад (180 у степені з показником , то кажуть, що є множником кратності многочлена . Множники, кратність яких більша за одиницю, називаються кратними множниками.

Теорема 7. Якщо многочлени і розкладені на незвідні множники у довільному полі то найбільший спільний дільник дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як , так і . Якщо таких спільних незвідних множників немає, то

Корені многочленів

Нехай - многочлен над полем а - розширення

можна обчислити

Означення 14. Коренем многочлена називається елемент будь-якого розширення поля такий, що

(Корінь многочлена інколи називають нулем многочлена).

Теорема 8. Елемент є коренем многочлена тоді і тільки тоді, коли лінійний двочлен є дільником многочлена

Означення 15. Елемент називається коренем многочлена , якщо .

Означення 16. Елемент називається - кратним коренем многочлена , якщо але не ділиться на

(19)

Теорема 9. Число усіх можливих коренів многочлена над полем не перевищує його степеня.

Наслідок. Якщо многочлен , степінь якого не перевищує має , різних коренів, то є нуль – многочлен.

Теорема 10. Існує один і тільки один многочлен не вище -го степеня, який приймає в різних точках задані значення

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с. – стор. 250-251.]