Свободные колебания. Пружинный маятник

Рассмотрим тело с массой m, соединенное с невесомой пружиной, один конец которой закреплен. Если сместить тело от положения равновесия на величину X_m и отпустить из состояния покоя, то оно под действием упругой силы со стороны пружины будет ускоряться в направлении положения равновесия. После прохождения телом положения равновесия скорость его начнет уменьшаться до остановки. Затем сила со стороны пружины заставит тело двигаться обратно к положению равновесия, которое тело пройдет по инерции, т.е. тело будет совершать колебательное движение. При отсутствии сил трения ускорение телу m сообщает только сила со стороны пружины, которую по закону Гука будем считать пропорциональной удлинению пружины: F=-kx. Тогда ma=-kx. Но ускорение – а – это вторая производная от координаты по времени: . После подстановки получим:

Где k – коэффициент жесткости и пружины. Знак «-» обусловлен тем, что сила направлена против отклонения из равновесного положения (х=0). Обозначив k/m=ω₀², получим уравнение гармонических колебаний (6.10). Следовательно, тело будет двигаться по закону А частота определится массой тела и коэффициентом жесткости пружины . Частота ω₀ называется собственной частотой колебаний маятника.

Для определения X_m и φ необходимо задать значения двух каких-либо изменяющихся величин: координаты, ускорения, скорости или энергии в какой-то момент времени t.

Математический маятник – это материальная точка с массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. Поместим начало координат в точку подвеса - О. Координатой материальной точки будет угол α между нитью подвеса и вертикалью. Этот угол мы считаем векторной величиной, причем направлен этот вектор перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Очевидно, что точка будет совершать колебательное движение по окружности с радиусом |r|= l. Составим уравнение движения. Обозначим М – момент силы тяжести, которая действует материальную точку, j – момент инерции маятника относительно точки подвеса, ε – угловое ускорение маятника. Само уравнение движения очень простое:

Необходимо только выразить векторы момента силы и углового ускорения через длину подвеса l и силу тяжести. Момент силы тяжести:

Момент инерции

J=ml².

Уравнение движения:

После сокращения на m приходим к выводу о том, что масса точки не влияет на характер движения. Перейдем к скалярным величинам. Для этого спроецируем уравнение на ось перпендикулярную плоскости рисунке. Один из векторов - параллелен этой оси, а другой - параллелен вектору угла и, следовательно, антипараллелен оси. Поэтому их проекции будут иметь противоположные знаки и после сокращения на |r| получим:

Это и есть искомое уравнение движения. Вместо углового ускорения - ε следует подставить вторую производную по времени от угла α:

Обычно длину нити подвеса обозначают буквой l. В нашем случае l=|r| Если угол отклонения α мал, можно положить sin(α)= α. Мы вновь получаем уравнение гармонических колебаний (7.7), в котором

Физическим маятником называется тело произвольной формы, совершающее колебания около оси, проходящей через точку подвеса (О) перпендикулярно плоскости рисунка. Поместим начало координат в точку подвеса и построим вектор r – радиус-вектор цента масс тела. При этом уравнение движения будет точно таким же как для математического маятника - . Отличие будет только в вычислении момента инерции тела. Выразим его с помощью теоремы Штейнера в следующем виде: j=j₀+m|r|². Где j₀ – момент инерции относительно центра масс. Подставим формулы для момента силы и момента инерции в уравнение движения:

После сокращения на m и проецирования уравнения на ось вращения получим:

Для малых углов α можно заменить sin(α)= α. В результате получим уравнение гармонических колебаний

Величина

называется приведенной длиной физического маятника. Частота собственных колебаний . По виду формула частоты собственных колебаний такая же как для математического маятника. Однако, необходимо помнить, что приведенная длина маятника – l вычисляется не очень просто по формуле (7.13).

Пятиминутка: Линейка длиной 1 м имеет небольшое отверстие на расстоянии 1 см от края. Определить период качаний линейки если она подвешена этим отверстием на гвоздь, вбитый в вертикальную стену.

Конец лекции.