Кинематика материальной точки. Векторное описание движения, перемещение, траектория, путь. Скорость, ускорение поступательного движения.

Механическим движением называется изменение положения предмета относительно заданной системы отсчета. Понятие системы отсчета включает в себя тело отсчета и систему координат. Для большинства задач достаточно ограничиться прямоугольной системой координат и выбрать в качестве тела отсчета Землю. Простейшим объектом для изучения механического движения служит материальная точка. Для описания положения материальной точки относительно выбранной системы отсчета принято использовать векторное представление:

Положение точки А описывается радиус - вектором r_А, проведенным из начала координат в точку А. Если точка А движется, то кривая, соединяющая положения точки в последующие моменты времени t ₁, t₂...t_n (где t₁< t₂....< t_n), называется траекторией движения. При движении точки конец ее радиус-вектора перемещается вдоль траектории. Изменение радиус-вектора с течением времени r(t) – представляет кинематический закон движения.

Координаты точки в этом случае также являются функциями времени: х = х(t), у = у(t) и z = = z(t) (см.рис.1.8), которые можно рассматривать как параметрические уравнения движения. Если за время Dt точка переместилась из положения А в положение В (рис.1.8), то вектор D r, проведенный из А в В, называется перемещением точки за время Dt. Из рис. 1.8 видно, что . Для более точного описания движения необходимо выбирать время Dt как можно меньше.

Важной характеристикой механического движения является скорость. Средняя скорость материальной точки <v> за промежуток времени Dt определяется как

Величина средней скорости зависит от выбора величины временного интервала Dt. Однако при уменьшении величины Dt отношение (1.1) стремится к некоторому пределу, который принято называть мгновенной скоростью материальной точки или скоростью в данный момент времени

Другими словами, можно сказать, что скорость является первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.

Как и любой вектор, вектор скорости можно представить в виде суммы составляющих по координатным осям:

(1.3)

где являются единичными векторами, направленными соответственно вдоль осей X, Y и Z.

С другой стороны, радиус вектор r также можно представить в виде суммы:

, (1.4)

где x,y и z представляют собой координаты радиус-вектора. Дифференцируя формулу (1.4) и сравнивая результат дифференцирования с выражением (1.3), получим

Формулы (1.5) означают, что составляющие скорости движения по координатным осям равны скоростям изменения соответствующих координат. Следовательно, по известной зависимости координат точки от времени: x(t), y(t) и z (t) простым дифференцированием можно найти составляющие v_x, v_y, v_z вектора скорости, а следовательно и сам вектор скорости в любой момент времени.

Величина вектора скорости (его модуль) как и величина любого вектора находится как корень квадратный из суммы квадратов соответствующих проекций:

. (1.6)

Несколько сложнее решается обратная задача - нахождение закона движения по заданной зависимости вектора скорости от времени.