Интенсивность напряжений и интенсивность деформаций. Критерии пластичности

В теории пластичности большое значение имеют такие понятия, как девиаторы напряжений и деформаций, интенсивности напряжений и деформаций.

Остановимся на этих понятиях. Напомним, напряжение в точке и деформацию в точке можно представить в виде тензора напряжений Т_н и тензора деформаций Т_д.

Представим тензор напряжений Т_н в виде суммы тензоров, Так, если напряженное состояние в точке представить в виде суммы напряженных состояний, определяемых равносторонним растяжением, напряжением σ₀ =(σ_x +σ_y +σ_z)/3 и действием компонент напряжений σ_x – σ₀, σ_y – σ₀, σ_z – σ₀, τ_xy,τ_yz, τ_zx, то общее напряженное состояв в тензорной форме представится в виде

 

,

 

или Т_Н= Т_σ0 + D_σ, где

 

 

 

- шаровой тензор, а

 

 

— девиатор напряжений.

Первое напряженное состояние, характеризуемое дей­ствием равностороннего растяжения или сжатия, приводит только к изменению объема и не изменяет формы. Второе напряженное состояние, характеризуемое девиатором напря­жений, напротив, не изменяет величины объема, но изменя­ет форму выделенного из тела элемента.

Опыты показывают, что тело может испытывать очень большие величины равностороннего сжатия и оставаться при этом в упругом состоянии. Из этого следует, что за переход из упругого в пластическое состояние следует счи­тать ответственным девиатор напряжений.

 

Интенсивностью напряжений называют величину

 

σ_i = 1/√2×√[(σ_x – σ_y)² +(σ_y –σ_z)² + (σ_z – σ_x)² + 6(τ²_xy + τ²_yz +τ²_zx)]

Интенсивностью касательных напряжений τ_i - называют величину, равную

 

Между интенсивностью напряжений σ_i и интенсивностью касательных напряжений τ_i имеется следующая зависимость:

σ_{i =} √3 τ_i

Интенсивность касательных напряжений с точностью до числового множителя равна касательному напряжению на площадке, равнонаклоненной к направлениям главных

напряжений (рис. 1.9).

В самом деле, направление нормали v к этой площадке характеризуется следующими величинами направляющих косинусов:

cos(x,v) = cos(y,v) = cos(z,v) = 1/√3

 

 

 

Рис. 1.9

 

 

Полное напряжение p_v на этой площадке, называемой октаэдрической, будет равно

 

 

а нормальное напряжение σ_v к площадке

 

Касательное напряжение на октаэдрической площадке най­дем из выражения

 

откуда

Следовательно,

,

 

Таким образом, интенсивность напряжений можно интерпретировать как величину, пропорциональную октаэдрическому касательному напряжению.

Аналогично тому, как напряженное состояние в точке тела было представлено выше, в виде суммы двух напря­женных состояний, деформированное состояние в этой точке, можно представить в виде суммы двух деформированных состояний — одного, определяемого равносторонним растя­жением (сжатием), и второго, при котором компоненты де­формаций получаются как разности действительного дефор­мированного состояния и состояния всестороннего растяжения (сжатия).

Тензор деформации Т_Д можно представить в следующем виде

При всестороннем растяжении напряжениями σ₀ =(σ_x +σ_y +σ_z)/3 деформации в направлении осей x, y, z будут одинаковы и равны

Тензор деформаций, соответствующий всестороннему растяжению, обозначим через Т_ε0:

.

 

Девиатор деформаций

 

Таким образом, в общем виде тензор деформаций можно представить как сумму двух тензоров — шарового тензора деформаций и девиатора деформаций:

Т_Д = Т_ε0 + D_ε

Шаровой тензор деформаций определяет изменение удельного объема в точке тела, а девиатор — изменение формы без изменения объема.

Пластические деформации, как показывают эксперименты, связаны с явлениями сдвига. Поэтому естественно, что и имеющие широкое распространение теории пластичности| в основе своей имеют сравнение некоторых касательных напряжений с предельными, вызывающими появление текучести.

Основываясь на опытах Треска по истечению металла через отверстия, Сен-Венан считал, что переход из yпругого состояния в пластическое в окрестности точки происходит тогда, когда максимальное касательное напряжение в точке достигает некоторого постоянного значения, xaрактерного для данного материала:

τ_max= σ_T/2

или

σ₁ - σ₃ = σ_Т

Этот критерий пластичности соответствует известному из курса сопротивления материалов условию, вытекающему из теории прочности Кулона наибольших касательных
напряжений.

Другой распространенный в настоящее время критерий пластичности, предложенный Мизесом (он называется также критерием Губера — Мизеса), определяет переход упругого в пластическое состояние в окрестности точки при условии

σ_i = σ_Т

или

В этом случае не максимальное касательное напряжение, а октаэдрическое касательное напряжение достигает некоторого постоянного для данного материала предельного значения. Критерий пластичности Губера — Мизеса cooтветствует известному условию энергетической теории прочности.

Хотя результаты, получающиеся по этим двум критериям пластичности, достаточно близки, однако следует отметить, что многочисленные опыты, проведенные для плоского напряженного состояния, показывают, что экспериментальные результаты лучше согласуются с критерием пластичности Губера — Мизеса.