Окружность. Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение точки (0;0)

4) - уравнение гиперболы.

5) a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

6) y² = 2px – уравнение параболы.

7) y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

8) y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

9) y² = 0 – пара совпадающих прямых.

10) (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

Окружность.

В окружности (x – a)² + (y – b)² = R² центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипсом называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют уравнению

. (20).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса.

О виде эллипса можно судить по рисунку 9.

Далее будем считать, что (в противном случае можно развернуть систему координат на 90 градусов). Параметр a называется большей, а параметр b - меньшей полуосью эллипса.

Положим . Точки называются фокусами эллипса. С фокусами связан ряд интересных свойств, о которых мы будем говорить ниже.

Кривые второго порядка. Гипербола

Определение 6. Гиперболой называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют уравнению

(21).

Уравнение (21) называется каноническим уравнением гиперболы. О виде гиперболы можно судить по рисунку 10.

Положим . Точки называются фокусами гиперболы. Параметр a называется действительной, а параметр b - мнимой полуосью гиперболы, соответственно ox – действительная, а oy – мнимая оси гиперболы.

Прямые, заданные уравнениями , называются асимптотами. При больших значениях параметра x точки асимптот бесконечно близко приближаются к ветвям гиперболы. На рисунке 10 асимптоты изображены пунктирными линиями.

Кривые второго порядка. Порабола

Определение 7. Параболой называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют уравнению

(22).

Уравнение (22) называется каноническим уравнением параболы. Она изображена на рисунке 11. Фокусом параболы называют точку F с координатами .

Различные виды уравнений плоскости
Угол м-ду двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух

плоскостей. Расстояние от данной точки до данной плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой.

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

(1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

. Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Различные виды уравнения прямой в пространстве

Угол м-ду двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Условия компламарности двух прямых
Угол м-ду прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Функции и их графики. Основные характеристики функций

свойства основных элементарных функций по схеме:

область определения функции; Областью определения функции y=f(x) (выражения f(x)) называют множество всех значений x, для которых функция (выражение) имеет смысл.

поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

проверка на четность и нечетность;

область значений функции;

промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

наклонные и горизонтальные асимптоты;

особые точки функций;

особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x,

где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол, тангенс которого равен k: tan = k (рис.8). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3

Обратная функция, сложная функция, элементарная функция

Обратная функция.

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией. Предположим, мы имеем функцию:

v = u 2,

где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v:

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).

Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:

Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f1(y1), y1 = f2(y2), …, yn-1 = fn(x), то

Элементарные функции и их графики

Понятие функции _ одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано

в нашей статье.Что такое функция?..

Знания об элементарных функциях и их графиках необходимы для решения урав-

нений и неравенств даже в части В _ например, в задании В12. И конечно, в части С

без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз _ пер-

вая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и

их графикам.

Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, _

это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве

учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происхо-

дящих в природе и обществе.

Существует всего пять типов элементарных функций:

1. Степенные

К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, 1

, px, npx.

Все они содержат выражения вида x_.

2. Показательные

Это функции вида y = ax.

3. Логарифмические

y = loga x.

4. Тригонометрические

В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

5. Обратные тригонометрические.

Содержат arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получа-

ются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x2

· ex _ про-

изведение квадратичной и показательной функций; y = sin (ax) _ сложная функция,

то есть комбинация двух функций _ показательной и тригонометрической.

Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть

Числовая последовательность и ее предел. Связь м-ду сходимостью и оганиченностью последовательности

Функцию вида y=f(x), где х принадлежит N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают

Иногда для обозначения последовательности используется запись (у).

Последовательности можно задавать различными способами, например словесно, когда правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее п-го члена.

Приведем три примера.

Предел функции в точке операции над пределами функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности

ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ- предел функции в некоторой точке справа или слева.

Бесконечность обозначают символом. По сути, бесконечность это есть либо бесконечно большое положительное число, либо бесконечно большое отрицательное число.

Что это означает: когда Вы видите, то не имеет разницы это или. Но лучше не заменять на, равно как и лучше не заменять на.

Записывать предел функции f(x) принято в виде, снизу указывается аргумент x и через стрелочку к какому значению он стремится.

Если представляет из себя конкретное действительное число, то говорят о пределе функции в точке.

Если или. то говорят о пределе функции на бесконечности.

Сам предел может быть равен конкретному действительному числу, в этом случае говорят, что предел конечен.

Если, или, то говорят, что предел бесконечен.

Еще говорят, что предел не существует, если нельзя определить конкретное значение предела или его бесконечное значение (, или). Например, предел от синуса на бесконечности не существует.

Замечательные пределы

Понятие замечательных пределов используется на просторах бывшего Советского Союза для обозначения хорошо известных математических тождеств со взятием предела. Замечательны они потому, что они уже доказаны великими математиками и нам нам остается лишь пользоваться ими для удобства нахождения пределов. Из них наиболее известны первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.

Необходимо вычислить предел

Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.

Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:

Получаем неопределенность.

Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:

Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:

Подставим решение первого замечательного примера и получаем:

Упрощаем дробь:

Ответ: 7/3.

Как видите – все очень просто.

Второй замечательный предел имеет вид

, где e = 2,718281828… – это иррациональное число.

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к.

Пример.

Необходимо вычислить предел

Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.

……………………………………………..

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или, т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Непрерывность функции в точке, на промежутке, односторонняя непрерывность
Точки разрыва функции. Непрерывность элементарных функций

Понятие производной. Таблица производных. Основные правила дифференцирования
Логарифмическая производная. Производная неявной функции
Производная высших порядков, производная функции, заданных параметрически
Понятие дифференциала. Применение его в приближенных вычислениях
геометрический смысл и свойства дифференциала. Дифференциал высших порядков
Теорема о среднем, Правило Ливеталя
Условие монотонности функций. Экстремумы функции
Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
Асимптоты функции. Построение графиков функций
Понятие неопределенности интеграла. Свойства

Таблица основных неопределенных интегралов

См стр 200 выше

Основные методы интегрирования

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f (x), или интегралом от f (x), если для всякого x Î X справедливо равенство:

F ¢ (x) = f(x). (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f (x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f (x); обозначение -

∫ f(x) dx..

Если F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f (x), то

∫ f(x) dx. = F(x) + C, (8.2)

где С - произвольная постоянная.

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

См вопрос 45-46 таблица выше на стр200

Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Примечание: запись х0 означает х, тоже самое х1=х

0 1

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x < x<...<x = b. Из

1 n

каждого интервала (xi-1, xi) возьмем произвольную точку xi и составим сумму f(xi)Δ xi, где Δxi = xi - xi-1. Сумма вида f(xi)Δ xi называется интегральной суммой, а ее предел при λ = max Δxi→ 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

f(xi)Δ xi. (8.5)

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке

[a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1);

2);

3) -;

4), (k = const, k∈R);

5);

6);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈a,b]).это теорема о среднем значении

Геометрический и физический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определенного интеграла

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, связывающая определенный интеграл с неопределенным:

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.F(b) - F(a). (8.6)

Понятие функции нескольких переменных. График и линии уровня функции двух переменных

Определение частных производных первого порядка
Дифференцирование функции двух переменных
Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных Касательная и нормальная поверхности
Частные производные дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент
Экстремум функции двух переменных