Завдання 1 (0,1 балів за кожну)
1. Що називають аналітичною механікою?
а) розділ механіки, в якому вивчаються загальні методи роз взування динамічних задач для довільної системи матеріальних точок;
б) розділ механіки, в якому вивчаються характер і причини руху для невільної системи матеріальних точок;
в) розділ механіки, в якому вивчаються загальні методи роз взування задач для невільної системи матеріальних точок.
2. Запишіть диференціальне рівняння голономного зв’язку.
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Яку систему рівнянь називають рівняннями Лагранжа першого роду?
а) систему рівнянь, з яких одночасно визначаються координати точок і сили реакції зв’язків;
б) систему рівнянь, які дозволяють знайти закон руху невільної системи матеріальних точок;
в) систему рівнянь, яка встановлює умови рівноваги голономних систем із стаціонарними стримуючими зв’язками.
4. Яку систему рівнянь називають рівняннями Лагранжа другого роду?
а) систему рівнянь, з яких одночасно визначаються координати точок і сили реакції зв’язків;
б) систему рівнянь, які дозволяють знайти закон руху невільної системи матеріальних точок;
в) систему рівнянь, яка встановлює умови рівноваги голономних систем із стаціонарними стримуючими зв’язками.
5. Які переміщення точок системи називають можливими?
а) нескінчено малі переміщення точок системи, що пов’язані з обмеженнями збоку зв’язків; б) нескінчено малі переміщення точок системи, що пов’язані із обмеженнями з боку зв’язків та задовольняють диференціальному рівнянню руху такої системи; в) будь-які малі переміщення точок системи, що задовольняють накладеним на систему зв’язкам при фіксованому моменті часу.
6. Які переміщення називають дійсними?
а) нескінчено малі переміщення точок системи, що пов’язані з обмеженнями збоку зв’язків; б) нескінчено малі переміщення точок системи, що пов’язані із обмеженнями з боку зв’язків та задовольняють диференціальному рівнянню руху такої системи; в) будь-які малі переміщення точок системи, що задовольняють накладеним на систему зв’язкам при фіксованому моменті часу.
7. Які переміщення називають віртуальними?
а) нескінчено малі переміщення точок системи, що пов’язані з обмеженнями збоку зв’язків; б) нескінчено малі переміщення точок системи, що пов’язані із обмеженнями з боку зв’язків та задовольняють диференціальному рівнянню руху такої системи; в) будь-які малі переміщення точок системи, що задовольняють накладеним на систему зв’язкам при фіксованому моменті часу.
8. Записати правило розрахунку варіацій функції.
а) 
; б) 
; в) 
.
9. Записати постулат ідеальності зв’язків.
а) 
; б) 
; в) 
.
10. Сформулювати принцип віртуальних переміщень.
а) для рівноваги будь-якої механічної системи з голономними, стаціонарними, ідеальними та стримуючими зв’язками необхідно і достатньо, щоб сума віртуальних робіт всіх активних сил, діючих на систему, була б рівною нулю при будь-якому її віртуальному переміщенні;
б) для рівноваги будь-якої механічної системи з голономними, стаціонарними, ідеальними та стримуючими зв’язками необхідно і достатньо, щоб сума віртуальних робіт всіх активних і пасивних сил, діючих на систему, була б рівною нулю при будь-якому її віртуальному переміщенні;
в) для рівноваги будь-якої механічної системи з голономними, стаціонарними, ідеальними та стримуючими зв’язками необхідно і достатньо, щоб сума віртуальних робіт всіх сил реакції зв’язків, діючих на систему, була б рівною нулю при будь-якому її віртуальному переміщенні;
11. Які координати називають узагальненими?
а) 
величин, які однозначно визначають положення системи 
матеріальних точок, рух, якої обмежений 
зв’язками;
б) 
величин, які однозначно визначають положення системи матеріальних точок, рух, якої обмежений зв’язками;
в) 
величин, які однозначно визначають положення системи матеріальних точок, рух, якої обмежений зв’язками
12. Як визначається узагальнена сила, що відповідає узагальненій координаті 
?
а) 
; б) 
; в) 
.
13. Записати принцип віртуальних переміщень в узагальнених координатах.
а) 
; б) 
; в) 
.
14. Записати умову рівноваги механічної системи у потенціальному силовому полі.
а) 
; б) 
; в) 
.
15. Перелічити чотири існуючи типи рівноважних станів системи.
а) стійка, нестійка, байдужа, потенціальна; б) стійка, нестійка, рівноважна, нерівноважна; в) стійка, нестійка, байдужа, сідлоподібна.
16. Сформулювати принцип Д’аламбера.
а) геометрична сума д’аламберівських сил реакції зв’язків, що задають рівноважний стан системи, рівна нулю; б) якщо до заданих сил добавити сили, що рівні д’аламберівським силам інерції, то отримана система буде знаходитись у рівновазі; в) якщо до заданих сил та сил реакції добавити сили, що рівні силам інерції, то отримана система буде знаходитись у рівновазі.
17. Сформулювати принцип Д’аламбера-Лагранжа.
а) У будь-який момент часу руху механічної системи, алгебраїчна сума віртуальних робіт заданих сил та д’аламберівських сил інерції дорівнює нулю, якщо рух системи обмежених стримуючими, голономними та ідеальними зв’язками.
б) У будь-який момент часу руху механічної системи, якщо до заданих сил та сил реакції добавити сили, що рівні силам інерції, то отримана система буде знаходитись у рівновазі.
в) У будь-який момент часу руху механічної системи, геометрична сума віртуальних робіт заданих сил, сил реакції зв’язків та д’аламберівських сил інерції дорівнює нулю, якщо розглядувана система перебуватиме у рівноважному стані.
18. Що називають узагальненою швидкістю?
а) векторну величину, що визначається як 
;
б) векторну величину, що визначається як 
;
в) скалярну величину, що визначається як 
;.
19. Записати рівняння Лагранжа другого роду в узагальнених координатах у довільному зовнішньому полі.
а) 
; б) 
; в) 
.
20. Записати рівняння Лагранжа другого роду в узагальнених координатах у потенціальному зовнішньому полі.
а) ; б) ; в) .
21. Як задається функція Лагранжа?
а) 
; б) 
; в) 
.
22. Як задається функція Гамільтона?
а) 
; б) 
; в) 
.
23. Сформулювати закон збереження узагальненої енергії.
а) якщо функція Лагранжа від часу явно не залежить, то узагальнена енергія з часом зберігається; б) повний диференціал від функції Гамільтона, що описує рух системи визначається частковою похідною від лагранжіана системи за часом і зберігається; в) якщо зв’язки, що обмежують рух системи стаціонарні та стаціонарні зовнішні силові поля, тоді функція Лагранжа явно від часу не залежить, а функція Гамільтона зберігається.
24. Сформулювати теорему про зміну узагальненої енергії.
а) якщо функція Лагранжа від часу явно не залежить, то узагальнена енергія з часом не змінюєься; б) повний диференціал від функції Гамільтона, що описує рух системи визначається частковою похідною від лагранжіана системи за часом, взятий із знаком „-„ в) якщо зв’язки, що обмежують рух системи стаціонарні та стаціонарні зовнішні силові поля, тоді функція Лагранжа явно від часу не залежить і не змінюється.
25. Що називають узагальненим імпульсом?
а) 
; б) 
; в) 
.
26. Як функція Гамільтона повоза з кінетичною і потенціальною енергією системи?
а) 
; б) 
; в) 
.
27. Які координати називають циклічними?
а) узагальнені координати, що описують стан системи, але від яких лагранжіан системи явно не залежить; б) узагальнені координати, що описують стан системи, але від яких гамільтоніан системи явно не залежить; в) узагальнені координати, що описують стан системи, але від яких кінетична енергія системи явно не залежить.
28. Який математичний вигляд мають рівняння Гамільтона?
а) 
; б) 
; в) 
.
29. Яке поле називають центрально-симетричним?
а) центрально-симетричне поле – це поле, в якому потенціальна енергія є функцією обернено пропорційною віддалі від нерухомого центра до рухомої матеріальної точки, т. т. 
;
б) центрально-симетричне поле – це поле, в якому потенціальна енергія є функцією, що задається радіус-вектором від нерухомого центра до рухомої матеріальної точки, т. т. 
;
в) центрально-симетричне поле – це поле, в якому потенціальна енергія є функцією лише від віддалі від нерухомого центра до рухомої матеріальної точки, т. т. 
.
30. Що являє собою перший векторний інтеграл руху частинки у ЦСП?
а) 
; б) 
; в) 
.
31. Що називають ефективним потенціалом?
а) 
; б) 
; в) 
.
32. Як визначається секторна швидкість руху частинки у ЦСП?.
а) 
; б) 
; в) 
.
33. Що являє собою задача про рух в полі сил тяжіння.
а) Задача про рух двох частинок, які взаємодіють за законом 
;
б) Задача про рух двох частинок, які взаємодіють за законом 
;
в) Задача про рух двох частинок, які взаємодіють за законом 
.
34. Сформулювати перший закон Кеплера.
а) Всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. б) Всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться центр мас системи ”планета-Сонце”. в) Земля рухається навколо Сонця по колу, в центрі якого знаходиться Сонце.
35. Сформулювати другий закон Кеплера.
а) Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описують рівні площі. б) Всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться центр мас системи ”планета-Сонце”. в) Квадрати періодів планет відносяться до кубів півосей для всіх планет майже однаково.
36. Сформулювати третій закон Кеплера.
а) Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описують рівні площі. б) Всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться центр мас системи ”планета-Сонце”. в) Квадрати періодів планет відносяться до кубів півосей для всіх планет майже однаково.
37. На графіку зображено залежність ефективного потенціалу руху тіла від віддалі до силового центру:
Якому значенню повної енергії частинки та її віддалі до силового центру відповідатиме інфінітний рух гіперболічної траєкторії?
а) 
, 
; б) 
, 
; в) 
, 
.
38. На графіку зображено залежність ефективного потенціалу руху тіла від віддалі до силового центру:
Якому значенню повної енергії частинки та її віддалі до силового центру відповідатиме інфінітний рух параболічної траєкторії?
а) , ; б) , ; в) , .
39. На графіку зображено залежність ефективного потенціалу руху тіла від віддалі до силового центру:
Якому значенню повної енергії частинки та її віддалі до силового центру відповідатиме фінітний рух еліптичної траєкторії?
а) , ; б) , ; в) , .
40. На графіку зображено залежність ефективного потенціалу руху тіла від віддалі до силового центру:
Якому значенню повної енергії частинки та її віддалі до силового центру відповідатиме фінітний рух по колу?
а) , ; б) 
, 
; в) , .
41. Що являє собою задача двох тіл?
а) Задача про рух двох частинок, що взаємодіють між собою, зводиться до задачі одного тіла і розв’язується повністю, може бути зведена до двох задач (одночастинних): задачі про рух центру мас; рух точки зведеної маси відносно центру мас.
б) Задача про рух двох частинок, що взаємодіють між собою, зводиться до задачі одного тіла і розв’язується повністю, може бути зведена до одночастинної задачі про рух центру мас такої взаємодіючої системи.
в) Задача про рух двох частинок, що взаємодіють між собою, зводиться до задачі одного тіла і розв’язується повністю, може бути зведена до одночастинної задачі про рух точки зведеної маси відносно центру мас такої взаємодіючої системи.
42. Що називають зведеною масою?
а) 
; б) 
; в) 
.
43. Що називають 2-ою космічною швидкістю?
а) 
км/с; б) 
км/с; в) 
км/с.
44. Що називають 1-ою космічною швидкістю?
а) 
км/с; б) 
км/с; в) 
км/с.
45. Що називають 3-ою космічною швидкістю, яке її мінімальне значення?
а) 
км/с; б) 
км/с; в) 
км/с.
46. Записати рівняння траєкторії точки, що рухається під дією центральної сили.
а) 
; б) 
; в) 
.
47. Що називають одновимірним гармонійним осцилятором?
а) одновимірний рух частинки масою 
в полі сил, потенціал якої 
має мінімум у точці 
; б) одновимірний рух частинки масою в полі сил, потенціал якої 
має мінімум у точці ; в) рух частинки масою в полі сил, потенціал якої 
має мінімум у точці 
.
48. Записати лінійне диференціальне рівняння руху осцилятора.
а) 
; б) 
; в) 
.
49. Записати загальний розв’язок рівняння затухаючих коливань осцилятора.
а) 
; б) 
; в) 
.
50. Записати загальний розв’язок рівняння гармонійних коливань осцилятора.
а) ; б) 
; в) 
.
51. Записати закон збереження енергії для механічного осцилятора.
а) 
; б) 
; в) 
.
52. У якому випадку коливання механічної системи можна вважати малими?
а) коли кут відхилення коливальної системи від положення рівноваги малий; б) коли потенціальна енергія коливальної системи не змінюється; в) коли кінетична енергія коливальної системи у положенні рівноваги максимальна.
53. Як визначається період гармонійних коливань осцилятора?
а) 
; б) 
; в) 
.
54. Як визначається логарифмічний декримент затухання коливального процесу?
а) 
; б) 
; в) 
.
55. Чому дорівнюють амплітуда коливань осцилятора?
а) 
; б) 
; в) 
.
56. Який рух частинки називають одновимірним?
а) той, що визначається лише однією координатою; б) той, що обумовлює її рух одновимірним потенціальним полем; в) той, що задається одновимірним диференціальним рівнянням її руху.
57. Яку силу називають вимушеною?
а) зовнішню періодичну силу, що діє на коливальну систему; б) внутрішню аперіодичну силу, що діє у коливальній системі; в) зовнішню силу, що виводить коливальну систему із її положення рівноваги.
58. Як визначається резонансна частота вільних коливань осцилятора?
а) 
; б) 
; в) 
.
59. Як визначається резонансна частота коливань осцилятора за наявності сили в’язкого тертя?
а) ; б) 
; в) 
.
60. Яке явище називають резонансом?
а) Явище, яке полягає в тому, що при певному значенні частоти зовнішньої сили, амплітуда коливань набуває мінімального значення. б) Явище, яке полягає в тому, що при певному значенні частоти зовнішньої сили, амплітуда коливань набуває оптимального значення. в) Явище, яке полягає в тому, що при певному значенні частоти зовнішньої сили, амплітуда коливань набуває максимального значення.
61. Що називають шириною резонансної кривої?
а) ширину резонансу характеризують віддалю 
вздовж вісі абсцис; б) ширину резонансу характеризують віддалю 
вздовж вісі ординат; в) 
.
62. Що називають добротністю коливальної системи?
а) 
; б) 
; в) 
.
63. Що називають биттям?
а) періодична передача імпульсів коливань від одного коливального маятника до іншого зв’язаної коливальної системи; б) періодичне перекачування енергії від одного коливального маятника до іншого зв’язаної коливальної системи; в) періодична зміна періоду коливань маятників, від одного до іншого, зв’язаної коливальної системи.
Завдання 2 (0,5 балів за кожну)
1. Яку мінімальну швидкість необхідно надати космічному апарату на поверхні планети, що він віддалився від неї на нескінченість? Розрахунки виконати для Землі, Місяця, Марса, Венери й Юпітера. Використати таблицю.
| Планета |  , м
|  , кг
|  , км/с
|  , с
|
| Земля | 6,37 | 
| 7,91 | |
| Місяць | 1,737 | 
| 1,68 | |
| Венера | 6,05 | 0,815 
| 7,3 | |
| Марс | 2,44 | 0,055
| 3,54 | |
| Юпітер | 69,9 | 318
| 42,6 |
2. Яку мінімальну початкову швидкість необхідно надати космічному апарату біля поверхні Землі, що він міг покинути межі Сонячної системи?
Відповідь:16,7 км/с.
Завдання 3 (1 бал за кожну)
1. Тіло, що підвисили на двох вертикальних нитках довжиною 
кожна, віддаль між якими 
, закручується навколо вертикальної вісі, що лежить у площині ниток та рівновіддаленої від них (біфілярний підвіс). Радіус інерції тіла відносно вісі обертання 
. Відшукати період малих коливань.
Відповідь: 
.
2. Визначити період малих вільних коливань маятника масою , Віль обертання якого утворює кут 
із горизонтальною площиною. Момент інерції маятника відносно вісі обертання 
, віддаль центру мас від вісі обертання 
.
Відповідь: 
.
