Задание 2
Дано комплексное число 
. Записать число 
в алгебраической и тригонометрической формах, найти все значения 
, вычислить 
.
Решение:
Домножим числитель и знаменатель числа на 
(сопряженное комплексное число числу 
).
= 
– алгебраическая форма комплексного числа z. Геометрически число 
изображается как точка 
с координатами 
на плоскости 
или как вектор 
.
Модуль 
комплексного числа 
равен: 
.
Аргумент 
комплексного числа определяется из соотношений:
тогда 
.
| x |
| y |
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:
Значения находим по формуле
, где 
.
;
;
.
Найдем по формуле Муавра
.
В нашем случае 
, поэтому
Окончательно получаем:
– тригонометрическая форма числа .
– алгебраическая форма числа .
Задание 3
Вычислить пределы:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
.
Задание 4
При решении примеров используются формулы производных сложных функций 
, где 
:
и другие.
1. 
.
2. 
Преобразуем: 
.
.
3. 
4. 
.
5. 
.
Задание 5
Провести полное исследование функций и построить графики.
а) 
; б) 
.
Решение:
а) 
.
1) Функция определена на всей оси Ох, кроме точки 
, где она терпит бесконечный разрыв.
2) Находим наклонные асимптоты 
:
;
Наклонная асимптота 
. Вертикальная асимптота .
Находим критические точки, в которых первая или вторая производная равна нулю, либо не существует:
;
.
Критическими точками будут 
и 
, где 
=0. В точке функция не существует.
Из формулы для 
следует, что y<0 при 
, и y>0 при 
.
Из формулы для 
следует, что при xиз (- 
,-2) >0, т.е. функция возрастает; в интервале (-2,-1) <0 – функция убывает, а точка 
является точкой максимума. В интервале (0,+ ) >0 – функция возрастает. В интервале (-1;0) производная <0 и функция убывает. Точка 
– точка минимума.
В интервале (- ;-1) 
<0 – график функции выпуклый, в интервале(-1;+ ) >0 - график вогнутый.
Результаты исследований сведем в таблицу:
| x | (- ,-2)
| -2 | (-2,-1) | -1 | (-1,0) | (0,+ )
| |
| y | - | -4 | - | -
| + | + | |
| + | - | не сущ. | - | + | ||
| - | - | - | не сущ. | + | + | + |
| Выводы: | Функция возрастает; график выпукл. | Точка максимума | Функция убывает; график выпукл. | Точка разрыва | Функция убывает; график вогнут. | Точка минимума | Функция возрастает; график вогнут. |
Строим график:
б) 
.
1) Функция определена, если 
>0, т.е. 
В точках и 
функция имеет бесконечный разрыв, так как:
; 
.
2) Прямые и – вертикальные асимптоты, т.к. lim|y|= 
в этих точках.
Наклонные асимптоты:
; 
;
Таким образом, уравнение асимптоты 
.
3) Находим и : 
;
.
Критические точки: 
0, в точках и функция не существует;
=0, точка 
– критическая точка; 
ОДЗ.
>0 в интервалах (- ;-2) и (1;+ ) – функция возрастает;
<0 в интервале (1;+ ) – график функции выпуклый;
>0 в интервале (- ;-2) – график функции вогнутый;
Из условия у=0 найдем точку пересечения кривой с осью Ох.
.
Составим таблицу, включающую точки и ; 
.
| x |
(- ,-2)
| -2 | (1,  ).
| .
| (,+ )
| |
| y | + | +
| -
| - | + | |
|
| + | не сущ. | не сущ. | + | + | + |
|
| + | не сущ. | не сущ. | - | - | - |
| Выводы: | Функция возрастает; график вогнут. | Вертикальная асимптота. | Вертикальная асимптота. | Функция возрастает; график выпукл. | Функция возрастает; график выпукл. |
Строим график функции:
Задание 6
Найти неопределённые интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Решение.
а) 
.
Проверка.
Найдём производную от полученного результата:
.
Получили исходную подынтегральную функцию. Значит, интеграл найден верно.
Ответ: 
.
б) 
находят интегрированием по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид
.
Примем 
. Первое равенство дифференцируем, второе интегрируем:
.
Получаем: 
. Применяя формулу интегрирования по частям, находим:
.
Проверка.
.
Интеграл вычислен верно.
Ответ: 
.
в) 
– интеграл от рациональной дроби. Найдём корни многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. решим уравнение 
:
и разложим знаменатель дроби на множители, а дробь – на сумму двух простейших дробей:
.
Приравняем числители первой и последней дроби:
.
Это тождество должно выполняться при всех 
.
Подставим 
: 
.
Теперь подставим 
: 
.
Значит, разложение дроби имеет вид:
.
Найдём теперь заданный интеграл:
.
Ответ: 
.
г) В интеграле 
сделаем замену переменной 
, откуда 
. Дифференцируя обе части, найдём:
.
После замены интеграл принимает вид:
= 
.
Ответ: 
.
Задание 7
Вычислить приближённое значение определённого интеграла 
с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака:
.
Решение.
Для приближённого вычисления определённого интеграла 
по формуле Симпсона следует:
а) разделить отрезок интегрирования [ a, b ] на n равных частей точками 
, 
, 
, …, 
(где n – чётное число). Длина каждой части 
;
б) Вычислить функцию 
в точках деления. Обозначить
.
Формула Симпсона имеет вид
.
Для заданного интеграла 
.
При 
, 
; 
, 
.
= 
.
Ответ: 
.
Задание 8
Вычислить определенный интеграл применяя формулу Ньютона-Лейбница:
Решение:
Заданный интеграл является табличным 
и он равен
= 
= arcsin1 – arcsin0 = 
Ответ: 
Задание 9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Решение.
Искомая площадь заштрихована на рисунке.
Её величина вычисляется по формуле
.
Ответ: 
.
Задание 9
Пример 1. Найти частное решение уравнения х • d х + у • d у = 0, удовлетворяющее начальному условию у(1) = 0. Выделить интегральную кривую, проходящую через точку М (1,0).
Решение. Разделим переменные: х • d х = - у • d у. Интегрируем:
получаем 
или, обозначив 2 С1
через С2, будем иметь х2 + у2 = С2 - общий интеграл. Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат
и радиуса С. Для решения задачи Коши подставим в общий интеграл
начальные условия х = 1, у = 0: 12 + 02 = С2,откуда
С2 = 1, а тогда искомое частное решение х2 + у2 = 1 (частный интеграл)- окружность с центром в начале координат радиуса 1. Это интегральная кривая, проходящая через точку М (1,0).
Пример 2. Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения:
(x 2 + y 2)dx–xydy = 0.
Решение. Разделив обе части уравнения на dx, приведём его к виду
или 
= 
Применив подстановку у = uxу' = u'х + u, найдём:
u'х + u = u + 
.
Разделяем переменные и интегрируем:
=ln│x│+C
Учитывая, что u = 
, получим: 
, = ln │х│ + C. Это - общий интеграл.
Кроме того, х = 0 - интеграл данного уравнения.
Ответ: , = ln │х│ + C; х = 0
СОДЕРЖАНИЕ
| Аннотация ….…………………….………………………. | |
| Введение ….…………………….……………………….… | |
| Цели и задачи дисциплины ………………….……………… | |
| Общие рекомендации студенту заочного отделения по изучению курса математики..........………...…………..…… | |
| Указания по выполнению контрольных работ.…………… | |
| Таблица вариантов.………………………..………………… | |
| Рекомендуемая литература ………………….……………… | |
| Рабочая учебная программа курса и методические указания к изучению предмета …………………………………… | |
| ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ……………………… | |
| Задание № 1 ………………………………… | |
| Задание № 2 ……….………………………… | |
| Задание № 3 …………………….…………… Задание № 4…………………….…………… Задание № 5…………………….…………… Задание № 6…………………….…………… Задание № 7…………………….…………… Задание № 8…………………….…………… Задание № 9…………………….…………… Задание № 10…………………….…………… | |
| ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ. |
