Кванттық статистиканың негізгі есебі – барлық бөлшектер жүйесінің ең ықтимал күйін сипаттайтын параметрлердің орташа мәнін анықтау және осы параметрлерге сәйкес таралу функцияларын табу.
Бөлшектердің 
энергия бойынша кванттық үлестірілуін қарастырамыз. Бұл үлестірілу энергиясы бір күйдегі бөлшектердің орташа санын анықтайтын, 
функция түрінде жазылады
Фермиондар үшін 
, (13.1)
Бозондар үшін 
, (13.2)
мұндағы 
– химиялық потенциал.
Бұл үлестірулердің ерекшеліктері:
– фермиондар үшін функциясының мәні бірден артық болмауы керек, ал бозондар үшін кез келген мән бола алады;
– бозондар үшін (13.2) өрнектегі мәні оң сан болуы мүмкін емес;
– егер 
болса, онда екі үлестірілудің де алымдарындағы бірлікті ескермеуге болады және формула Болцман үлестірілуіне өтеді
, (13.3)
мұндағы 
– нормалау коэффициенті.
Бұл жағдайда бөлшектердің түрі өзгермейді (бозон бозон болып, фермион фермион болып қалады), формула сәйкес келеді.
13.3 Металдардағы электрондар үшін Ферми-Дирак үлестірілу і
Классикалық электронды теорияда металдардың көптеген қасиеттері еркін электрондар моделімен түсіндіріледі. Кванттық физикада еркін электрондары жуықтап тік бұрышты потенциалды шұңқырдағы фермиондардан тұратын идеал газ ретінде қарастыруға болады. Электрондардың энергетикалық спектрі дискретті, бірақ энергетикалық деңгейлері тығыз орналасқандықтан оларды квазиүздіксіз деп алуға болады. Абсолют нөл 
температурадағы электронды газды қарастырамыз.
13.2 сурет
Бұл жағдайда
, егер 
,
, егер 
.
Суретте (13.2 суретке қараңыз) тұтас сызықпен f функциясының сызбасы көрсетілген. Сызбада энергиясы 
барлық күйлер толтырылған, ал энергиясы күйлер бос. Қарастырылып отырған жағдайда шамасын Ферми энергиясы немесе 
Ферми деңгейі деп атайды. Ферми энергиясы - 
жағдайда металдардағы еркін электрондардың энергиясының максимал мәні
, (13.4)
мұндағы 
- электрон массасы; 
- металдағы электрондардың концентрациясы.
Металдар үшін: 
≈ 5 эВ. Еркін электрондардың орташа энергиясы есептеулер бойынша
. (13.5)
Классикалық газдарда мұндай орташа энергияға 
~ 
температура сәйкес келер еді. Бұл температура кез келген металдың балқу температурасынан бірнеше есе артып кетеді. Ферми деңгейіндегі электрондардың жылдамдығы 
шамасында.
Электронды газдың мұндай күйі (13.2 суреттегі сызбасының тұтас қисық) толығымен азғындалған газ деп аталады.
Ферми-Дирак үлестірілуі 
жағдайда еркін элетрондар мен атомдардың жылулық қозғалысының әсерлесу салдарынан Ферми деңгейінен (13.2 суреттегі сызбасының пунктирлі қисық) асып кетеді. Асып кету аймағы шамамен жылулық қозғалыстың kT энергиясымен шамалас. Сондықтан тек Ферми деңгейіне жанасып жатқан ең жоғарғы деңгейлердегі электрондар ғана өзінің энергияларын өзгерте алады.
13.3 сурет
Электронды газ потенциалды шұңқырда орналасқан деп алып, электрондардың үлестірілуін қарастырамыз.
|
Мұндағы 
-потенциалды шұңқырдың тереңдігі. – Ферми деңгейі, бұл деңгейден төменгі аймақ еркін электрондармен толтырылған, ал электрондардың металдан шығу жұмысының жаймасы стрелкамен көрсетілген.
Суретте көрсетілгендей, электрондардың металдан шығу жұмысы классикалық физикадағыдай, потенциалды шұңқырдың түбінен бастап емес, электрондармен толтырылған ең жоғарғы энергетикалық деңгейден бастап есептелінеді екен.
Ферми энергиясы температураға тәуелді болғандықтан, шығу жұмысы да температураға тәуелді болады. Электрондардың кинетикалық энергиясы потенциалды шұңқырдың түбінен бастап есептелінеді.
Металлдардың электр өткізгіштігінің кванттық теориясы классикалық электронды теориядан алынған
.
Меншікті электр өткізгіштік өрнегі
. (13.6)
Бұл өрнек те классикалық теориядан алынған өрнекке ұқсағанымен одан едәуір айырмашылығы бар. Өрнектің алымындағы 
орташа жылулық жылдамдықтың орнында 
– электроны бар жоғарғы энергетикалық деңгейдегі электрон жылдамдығы тұр. Бұл жылдамдық металдың температурасына тәуелді емес. Толқынның кристалдық тор түйіндерінен шашыраусыз өтуінің орташа қашықтығы - 
. Ол жүздеген тор периодына тең болуы мүмкін. Температураның артуына байланысты электронды толқындардың тордың жылулық тербелістерінен шашырауы артуы мүмкін, сондықтан 
шамасы азаяды. Бөлме температурасында шамасы температураға кері пропорционал 
~ 
, ол тәжірибе нәтижесімен сәйкес келеді.
Кванттық және классикалық статистикалардың айырмашылықтары төменгі температурада және электрондардың үлкен концентрациясында, яғни азғындалған күйде айқын байқалады. Металдағы электронды газ тығыздығы өте үлкен 
, тіпті кәдімгі температурада да бұл газ азғындалған күйде болады.
