Шредингер теңдеуін шешу мысалдары

11.3.1 Бірөлшемді шексіз терең потенциалдық шұңқырдағы микробөлшектің күйі.

Массасы m бөлшек Ох осі бойымен ғана қозғалсын. Бөлшектің қозғалысы шұңқырдың қабырғаларымен шектеулі, қабырғалардың координаталары x=0 және x=L. Мұндай өрістегі бөлшектің потенциалдық энергиясы 11.1 - суретте көрсетілген. Бөлшектің функциясы х координатасына ғана тәуелді болғандықтан, Шредингердің (11.4) стационарлық теңдеуі мына түрде жазылады

(11.5)

Бөлшек шұңқырдан шыға алмайды, сондықтан және аймақтарда . Пси-функцияның үздіксіздік шартынан шығатыны, шұңқырдың шекараларында ол нөлге тең болуы қажет

11.1 сурет

. (11.6)

Шекаралық шарт - (11.6) теңдеуі (11.5) теңдеуіне қосымша. Шұңқырдың шектерінде (бұл аймақта ) (11.5) өрнегі мына түрде жазылады

. (11.7)

Бұл теңдудің шешімін табу дегеніміз, бөлшектің (знергетикалық спектр) толық энергиясының мүмкін мәндерін және осы мәндерге сәйкес келетін толқындық функциясын табу.

Жоғарыдағы (11.7) теңдеуі – тербелістер теориясындағы белгілі теңдеу. Ол (11.6) шартты энергияның мына мәндерінде қанағаттандырады

, (11.8)

мұндағы - бүтін сандар.

Бұл нәтиже микробөлшектің потенциалдық шұңқырдағы энергетикалық спектрі дискретті және бөлшек энергиясы квантталатынын көрсетеді. Ал энергияның кванттық мәндері - энергия деңгейлері, n - бас кванттық сан деп аталады.

Бөлшектің меншікті функциясы (11.8) өрнегіне сәйкес,

, . (11.9)

Нормалау (11.2) шартынан коэффициенті табылады,

11.2 сурет

және (11.9) өрнегі мына түрде жазылады

. (11.10)

Бөлшектің потенциалдық шұңқырдағы энергетикалық деңгейлері 11.2 –суретте (а), сонымен қатар функциясының сызбасы (б) және координатасы х нүкте айналасында бөлшектің болуының (в)- ықтималдық тығыздығының сызбалары келтірілген.

Кванттық және классикалық бөлшектердің айырмашылықтары 11,2- суретте сипатталған. Классикалық бөлшек шұңқырда кез-келген энергияға ие бола алады және шұңқыр түбіндегі тыныштықтағы бөлшек үшін . Ал кванттық бөлшек спектрі дискретті, оның ең аз энергиясы n=1 мәніне сәйкес келеді және ол нөлге тең болмайды. Кванттық бөлшек тыныштықта боуы мүмкін емес. Классикалық бөлшек шұңқырдың кез келген нүктесінде болу ықтималдығы бірдей. Кванттық бөлшектің, мысалы ең төменгі n=1 энергетикалық деңгейде шұңқырдың ортаңғы бөлігінде болу ықтималдығы ең жоғары болады, ал шұңқырдың шет жағында кез-келген деңгейде бөлшектің табылу ықтималдығының тығыздығы нөлге тең.

11.3.2 Туннельдік эффект.

Туннельдік эффект – классикалық физиканың заңдарына қайшы келетін, кеңістіктің аймақтарынан микробөлшектердің өтіп кетуі. Бөлшектің (бірөлшемді) х осі бойымен тікбұрышты қарапайым потенциалдық тосқауылдан өтуін қарастырамыз (11.3 суретті қара). Егер бөлшектердің толық энергиясы потенциалдық тосқауылдың биіктігінен аз болса, онда нүктесінде ол шағылады. Шредингер теңдеуінен шығатыны аймақта бөлшектің бөгеттен өту ықтималдығы нөлден өзгеше. Бөгеттің сол жағында түскен және шағылған толқын, ал оң жағында тек өткен толқын болады. Бөгет ішінде -функциясы толқындық сипатта болмайды, ықтималдылық экпоненциалды кемиді.

Сурет

Туннельдік эффект арқылы металдардағы электрондардың суық эмиссиясын, альфа ыдырауын, ядролардың спонтанды бөлінуін және т.б. түсіндіруге болады.

11.3.3 Гармоникалық осциллятор.

Сызықты гармоникалық осцилятор - квазисерпімді күштің әсерінен бір өлшемді қозғалыс жасайтын жүйе. Ол классикалық және кванттық теория есептерінде қолданылады. Кванттық гармоникалық осцилятордың потенциалдық энергиясы

. (11.11)

Мұндағы - бөлшек массасы;

- тербеліс жиілігі және қозғалыс х осі бойымен болады.

Кванттық осциллятор үшін Шредингер теңдеуін шешу күрделі математикалық есеп.

Кванттық гармоникалық осцилятордың тек энергетикалық спектрін ғана қарастырамыз

(11.12)

мұндағы – кез келген теріс емес бүтін

11.4 сурет сан.

Осцилятордың энергетикалық спектрі (11.12) өрнегінен дискретті екені шығады және энергияның ең төменгі мәні . Бұл кванттық осциллятордың негізгі деңгейі. Көршілес екі деңгейлер аралығы -кванттық санға тәуелсіз, яғни бірдей (11.4 суретке қараңыз).

Сонымен негізгі деңгей болса, онда кванттық осцилляторды тоқтату мүмкін емес. Мысалы абсалютті нөл температурада да кристалл тордағы атомдардың тербелісі тоқтамайды. Кванттық тербелістің ең аз энергиясы нөлдік энергия деп аталады