ЛЕКЦИЯ 3.
Решение задач по теме «Векторная алгебра»
Найти орт и направляющие косинусы вектора a{-4; 3; 12}.
Решение. Длина вектора 
; 
.
Орт вектора 
: 
;
Направляющие косинусы: 
.
Проверить, являются ли векторы и А) коллинеарными; Б) ортогональными.
Решение. А) 
úç 
Û 
. Имеем: 
Þ 
.
Б) ^ Û 
. Считаем: 
Þ ^ .
Вычислить скалярное произведение векторов и, если,,,, угол между векторами и равен 60°.
Решение. Как решить задачу?
Формула 
(определение скалярного произведения) не применима, поскольку неизвестны длины векторов и и угол между ними.
Формула 
(скалярное произведение в координатах) также не подходит, т.к. неизвестны координаты векторов.
Воспользуемся свойствами линейности и коммутативности скалярного произведения:
=
(далее используем определение скалярного произведения для векторов 
и 
)
.
В кубе найти угол между диагоналями и.
Решение. Построим прямоугольную систему координат OXYZ. Начало координат совместим с вершиной А, ось ОХ направим вдоль АВ, ось OY – вдоль AD, ось OZ – вдоль 
. Пусть длина стороны куба равна 1. Тогда 
, 
, 
- орты осей координат.
Рассмотрим векторы 
и 
. По правилу сложения и вычитания векторов
; 
.
Вычисляем косинус угла между векторами по формуле
:
.
Находим угол:
.
В треугольнике ABC с вершинами A(1,2,3), B(-1,0, 4), C(4,2, -1) найти длину высоты BD.
Решение.
Идея решения задачи. Выразим площадь треугольника двумя способами: по стандартной школьной формуле 
и через векторное произведение 
. Приравнивая площади, найдем высоту BD.
1. Находим координаты векторов 
и 
(из координат конца вычитаем координаты начала):
{-1-1;0-2;4-3}={-2;-2;1}; ={4-1;2-2;-1-3}={3;0;-4}.
2. Находим векторное произведение в координатах по формуле
.
.
3. Модуль (длина) векторного произведения вычисляется по формуле 
:
.
4. Площадь треугольника ABC равна
.
5. Находим длину основания:
.
6.Из формулы для площади треугольника
находим длину высоты BD:
; 
.
Найти координаты вектора длины, перпендикулярного векторам {-1;2;-2} и {1;2;4}, и образующего тупой угол с осью OX.
Решение. 1 способ (с использованием скалярного произведения). Обозначим неизвестные координаты вектора 
. Два условия перпендикулярности векторов (
) и заданная длина () позволяют составить систему 3 уравнений с 3 неизвестными. Решая систему, находим координаты вектора. Сделать самостоятельно.
2 способ (с использованием векторного произведения). Воспользуемся определением: векторное произведение – это вектор, ортогональный обоим векторам-сомножителям. Поскольку два перпендикуляра к плоскости параллельны, векторное произведение 
есть вектор, коллинеарный вектору . Координаты коллинеарных векторов пропорциональны: 
, коэффициент пропорциональности l найдем как отношение длин векторов.
Переходим к вычислениям.
;
условие пропорциональности координат позволяет выразить неизвестные через l:
Þ 
Длина вектора равна
(не забудем модуль: 
).
Находим величину l из условия 
:
Þ 
, Þ 
; 
.
Координаты вектора равны:
или 
.
Итак, мы нашли два вектора: 
и 
. Они оба перпендикулярны векторам и 
, и имеют заданную длину 
. Осталось последнее условие: вектор образует тупой угол с осью OX. Это означает, что
(во второй четверти косинус отрицателен).
Следовательно, данному условию удовлетворяет второй вектор . Ответ: 
.
