, , . .
.
. . , ObS
.
, . , . ,
, K K(X, Y) . . ObK
ComK
S L T M N
. . .
.... | , | |
(.), K | <ObK, K(X, Y) " X,Y Î ObK, ComK>, ObK- . . K, K(X, Y) - . . X Y, ComK - . K | |
K- . | . . K, ObK | ., . K |
K- . | . K,XÎ ObK | . ObK |
K- ., X,YÎ ObK | . . K, K(X, Y) | K(X, Y) . K X Y |
K- ., X,YÎ ObK | . K, A:XY | . K(X, Y) |
K- ., X,Y,Z,WÎ ObK,A:XY, B:YZ, C:ZW- . K | . K, ComK | K(X, Y) ´ K(Y, Z) K(X, Z), : 1. : C*(B*A) = (C*B)*A, 2. : " YÎObK $ 1Y ÎK(Y, Y)½ 1Y *A = A " A Î K(X, Y)& B*1Y = B " B Î K(Y, Z) |
K,P- . | P K | . , : 1. ObP Í ObK 2. P(X,Y) Í K(X,Y)" X,Y Î ObP 3. ComP = ComK½P(X,Y) ´ P(Y,Z) (.. K P) |
K- ., A Î K(X,Y) | . , A-1 | A-1 Î K(Y,X)ç A*A-1 = 1Y & A-1 *A= 1X |
K- . | . K | . K, |
K- . X, Y Î ObK | , X ~ Y | ObK: X ~ Y Û $ A:XY |
, S | S, : ObS ., S(X,Y) . A:XY, ComS : 1 (B*A)(x) = B[A(x)] 2 1x(x) = x | |
(..) (..), L | L, : ObL .., L(X,Y) .. A:XY, ComL = ComS½L(X,Y) ´ L(Y,Z)(.. L S) | |
(..) (..), T | T, : ObT .., T(X,Y) .. A:XY, ComT = ComS½T(X,Y) ´ T(Y,Z)(.. T S) | |
(..) (..), M | M, : ObM .., M(X,Y) .. A:XY, ComM = ComS½M(X,Y) ´ M(Y,Z)(.. M S) | |
(..) (...), N | N, : ObN .., N(X,Y) ... A:XY, ComN = ComS½N(X,Y) ´ N(Y,Z)(.. N S) | |
X Î ObS | (..), | <X, t>, t- . |
X Î ObS | , t | t Í Ã(X) : 1 {Æ, X} Í t 2 u, v Î tÞ u Ç v Ît 3 s Í t Þîþu Î t uÎs |
X Î ObT | . . | t |
X Î ObT, xÎX | x, ux | .ux, (.. xÎ ux Î t) |
<X,tX>, <Y, tY> Î ObT | ., AÎ T(X,Y) | A:XY "(x Î X, uAx Î tY ) $ vx Î tX ½ A(vx) Í uAx |
X Î ObS | (..), | <X, d>, d - . |
X Î ObS | ( ) | d: X´X [0, +¥) ½ " x,y,z Î X 1 d(x,y) = 0 Û x = y 2 d(x,y)= d(y,x) 3 d(x,y)£d(x,z) + d(z,y) |
<X, d> Î ObM, xn , x Î X | , xn x | xn ½ n ¥ Þd(xn , x) 0 |
<X, d> Î ObM, xn Î X | xn ½ n,m ¥ Þd(xn , xm ) 0 | |
X Î ObM | .. | .., " ( x Î X) |
<X,dX>, <Y, dY> Î ObM | . .., A Î M(X,Y) | A:XY : (x Î X, xn x) Þ Axn Ax |
X Î ObM, x Î X, r > 0 | ( ..), Bx,r | Bx,r = {yÎX½ d(x,y) < r} Í X |
X - .. | .. X, tO | tO = {u Î Ã(X)½ x Î u Þ u Ê Bx,r r> 0 } |
X Î ObL | (..), | <X,||. || >, ||. || - .. |
X Î ObL | , ||. || | ||. ||: X [0, +¥) ½" x,yÎ X, l Î R(C) 1 || x || = 0 Û x = q 2 || lx || = ½l½ || x || 3 || x + y || £ || x || + || y || |
<X,||. || > Î ObN | (..) | .. d(x,y) = || x - y || |
<X,||.||X>, <Y,||.||Y>ÎObN | .. .., A Î N(X,Y) | A:XY 2 : 1 ; 2 |
T | ||
P Î ObS; PR - . ; A,B Î S(P, PR) | , A(p) =(di =< >)Þ B(p), AÞB | A £ B S(P,PR) |
AÞB BÞA - | , A(p) Ü(di = < >)Þ B(p), ÛB | (AÞB)È(BÞA) = ÛB |
|
|
|
|
-1 . , , £ , (, , ):
S
T
L N M
- 2
2.1 ObK
2.2 . S, L, N. A Î S(X,Y) (L(X,Y), N(X - ..,Y- ..)). :
A - . S ( . L, . N) ÛA -
- 3
3.1 . S
1 X, Y Î ObS Þ S(X,Y) Î ObS
2 A Î S(X,Y) Þ A Î ObS
3 ., , .. , , . S, , , , , , , . S
3.2 . L
1 X Î ObS, Y Î ObL Þ S(X,Y) Î ObL, S(X,Y) .
2 X, Y Î ObL Þ L(X,Y) Î ObL, L(X,Y) .
3 X, Y Î ObL Þ X ´ Y Î ObL, X ´ Y .
4 A Î L(X,Y) Þ A Î ObL
5 .. C[a, b], lp,... . L, ( d-) ( , , ) . L
3.3 . N
1 X, Y Î ObN Þ N(X,Y) Î ObN
2 A Î N(X,Y) Þ A Î ObN
3 x: T R (x: T C):
sup- || x || sup = sup {½x(t)½: t Î T}
p- (p ³ 1) T = [a, b] Þ || x || p =
T = N Þ || x || p =
4 .. C[a, b], lp,... . N:
< C[a, b], ||. || sup >, <lp, ||. || p >, <Lp [a, b], ||. || p >,
< Ck[a, b], || x || = || x (k) || sup + || x (k - 1) || sup +... + || x || sup >,
. N
3.4 . M T
1 N £ M £ T =( )Þ ObN Í ObM Í ObT & N(X,Y) Í M(X,Y) Í T(X,Y) " X,Y Î ObN (.. N M T).
-1 :
1 AÞB ( AÛB, ) (.. , ?)
2 A, B Î S(P,PR), AÞ B ( Û) . ;
3 (), () ;
4 () ( ):
A(p) =(d1)Þ A1(p) =(d2)Þ A2(p) =(d3)Þ A3(p) Þ... ÞAn-1(p) =(dn)Þ B(p)
(A(p) Ü(d1)Þ A1(p) Ü(d2)Þ A2(p) Ü(d3)Þ A3(p) Û... ÛAn-1(p) Ü(dn)Þ B(p)),
, , , .
-1 . L ( 2.2). A Î L(X,Y). :
|
|
A - L ÛA - .
1 A - . L Û A - - , ( A Î L(X,Y)).
2 A(p) = A - . L, B(p) = - , P = L(X,Y) ' p = A.
3 , L S ( - . S).
4 ¨ - L Ü(d1 = )Þ $ A-1 Î L(Y,X) ½ A A-1 = 1y & A-1 A= 1x =(d2 = L £ S )Þ Ú Ü(d3 = "., , " -?)=
A Î L(X,Y) Í S(X,Y) & $ A-1 Î S(Y,X) ½ A A-1 = 1y & A-1 A= 1x Ü(d4 = .)Þ A Ü(d5 = . . S )Þ - ¨
d3 = ., , =
A Î L(X,Y) Í S(X,Y) & $ A-1 Î S(Y,X) Þ A-1 Î L(Y,X)
, .. ( , .. , , ):
¨í y1, y2 Î Y & l1, l2 Î R (C) Þ A-1 (l1 y1 + l2 y2) = ($ A-1 Þ y1 = Ax1 & y2 = Ax2 )=
A-1 (l1 Ax1 + l2 Ax2) =(A Î L(X,Y))Þ A-1 [A(l1 x1 + l2 x2)] =( A-1 A)= A-1 A(l1 x1 + l2 x2) =(A-1 A= 1x 1x)= l1 x1 + l2 x2 =
=(x1 = A-1 y1 & x2 = A-1 y2) = l1 A-1 y1 + l2 A-1 y2 ý Ü( ..)Þ A-1 Î L(Y,X) ¨
.
A Î L(X,Y). :
A - L Û A - .
¨ - L Ü( )Þ $ A-1 Î L(Y,X) ½ A A-1 = 1y & A-1 A= 1x =(L £ S)Þ Ú Ü(? -. )= A Î L(X,Y) Í S(X,Y) &
$ A-1 Î S(Y,X) ½ A A-1 = 1y & A-1 A= 1x Ü( .)Þ A Ü( . . S)Þ - ¨
A Î L(X,Y). :
A Î L(X,Y) Í S(X,Y) & $ A-1 Î S(Y,X) Þ A-1 Î L(Y,X)
(., , )
¨í y1, y2 Î Y & l1, l2 Î R (C) Þ A-1 (l1 y1 + l2 y2) = ($ A-1 Þ y1 = Ax1 & y2 = Ax2 )=
A-1 (l1 Ax1 + l2 Ax2) =(A Î L(X,Y))Þ A-1 [A(l1 x1 + l2 x2)] =( A-1 A)= A-1 A(l1 x1 + l2 x2) =(A-1 A= 1x 1x)= l1 x1 + l2 x2 =
=(x1 = A-1 y1 & x2 = A-1 y2) = l1 A-1 y1 + l2 A-1 y2 ý Ü( ..)Þ A-1 Î L(Y,X) ¨
1. , . N.
1. Fx = x(0) (d- ).
2. :[0,1] R . ( )
(Ax)(t) = a (t)x(t).
3. k:[0,1] R .
Fx =
4. k:[a,b]´[c,d] R .
5. g:[0,1][0,1] - .
(Ax)(t) = x[g(t)].
. :
1. X,YÎ ObS. AÎ S (X,Y).
2. , X,YÎ ObL. AÎ L (X,Y).
3. , X,YÎ ObM. AÎ M (X,Y).
4. , X,YÎ ObN. AÎ N (X,Y).
2. .
1. ObK
|
|
2. A Î S(X,Y) Þ A Î ObS.
3. L .
4. X Î ObS, Y Î ObL Þ S(X,Y) Î ObL.
5. < Ck[a, b], ||. || > Î ObN.
6. X, Y Î ObL Þ L(X,Y) Î ObL.
7. M .
8. < B[a,b], ||. ||sup > Î ObN.
9. < C[a,b], ||. ||sup > Î ObN.
10. T .
11. ObM Í ObT.
12. < l1, ||. ||1 > Î ObN.
13. X, Y Î ObL Þ X ´ Y Î ObL.
14. A Î L(X,Y) Þ A Î ObL.
15. N £ M.
16. N £ L.
17. X,YÎ ObM Þ M (X,Y) Í T (X,Y).
18. < L1[a,b], ||. ||1 > Î ObN.
19. I .
(1 ).
, (Ax)(t) = x(1) ´ sin t N, .. AÎN(X,Y) X Y.
1. X = Y = C[0,1] = {x:[0,1] R | x } [0,1] =( ObS)Þ XÎObS!
AÎS(X,X) = S(X)?
-. xÎC[0,1] =(const´sint:[0,1] R )Þ AxÎC[0,1] =( S(C[0,1]))Þ AÎS(X)!
2. XÎObL? C[0,1]:
"(l,mÎ R; x,yÎX; tÎ[0,1]) (lx + my)(t) =( )= lx(t) + R my(t). ,
q(t) = 0 "tÎ[0,1]. , X, ?
-. "(l,mÎR;x,yÎX) =( : )Þ
lx + myÎX =( ?)Þ X = C[0,1] .. =( ObL)Þ XÎObL!
AÎL(X)?
-. "t A(lx + my)(t) =( . )= (lx + my)(1) sin t =( )= [lx(1) + R my(1)] sin t =(R ..)= lx(1) sin t + R my(1) sin t =( . )= l(Ax)(t) + R m(Ay)(t) =( )= (lAx + mAy)(t) Ü( )Þ
A(lx + my) = lAx + mAy Ü( ..)Þ .. Ü( L(X))Þ AÎL(X)!
3. XÎObM? .. ObN Ì ObM (d(x,y) = ||x - y||?), .. X = C[0,1]
xÎ C[0,1] ||x||sup = sup{|x(t)|: tÎ[0,1]} (= sup |x| ([0,1]) = sup im |x|).
, x ||x||sup .
||x ||sup: X [0, +¥)?
-. xÎ C[0,1] = X =( : x:[0,1] R )Þ
0 £ |x(t)| £ M < ¥ "tÎ[0,1], .. im |x| =(sup )Þ 0 £ ||x||sup £ M < ¥,
.. ||x||sup Î [0, +¥)!
|| ||sup?
-.?
||lx ||sup = |l| ||x ||sup?
-. ||lx||sup =( sup-)= sup{|lx(t)|: tÎ[0,1]} =(|lm| = |l||m|)= sup{|l||x(t)|: tÎ[0,1]}
=(suplW = lsupW " (l³0, WÍ[0,+¥))= |l| ||x||sup sup- !
?
-. "t |(x + y)(t)| =( )= |x(t) + y(t)| £( D )£
|x(t)| + |y(t)| £(sup- )£ ||x||sup + ||y||sup =(sup- )Þ
||x + y||sup £ ||x||sup + ||y||sup! =( )Þ
<C[0,1], ||||sup> =()= C[0,1] = X - Ü( ObN)Þ
XÎObN =(ObN Ì ObM)Þ XÎObM!
A Î N(X) Ì M(X)? A .. . , ?
-. xn x Ü( )Þ d(xn, x) = ||xn - x||sup 0 n¥ (*). "t |(Axn Ax)(t)| =( )= |(Axn)(t) (Ax)(t)| =( .)= | xn(1) ´ sin t - x(1) ´ sin t|
=(R )= | (xn(1) - x(1))| |sin t| =( )= | (xn x)(1)| |sin t| £( sup-)£ ||xn - x||sup ||sin||sup =(sup- )Þ 0 £ ||Axn - Ax||sup £ ||xn - x||sup ||sin||sup 0 n¥ - . (*) sin Î C[0,1] =( )Þ ||Axn - Ax||sup 0 n¥ Ü( .. )Þ Axn Ax Ü( )Þ ..! , .. - .. .., , N(X), AÎ N(X) =(N(X)Í(X))Þ AÎ (X)!
|
|
4. , C[0,1] = XÎObN, AÎ N(X)
3. "" ( , , - 1). () (mod12) , .
1. - 1.
.ux, (.. xÎ ux Î t) | X | |||
(..) | .. | |||
L | $ A-1 Î L(Y,X) | . - AÎL(X,Y) | ||
$ A-1 Î M(Y,X) | M | . - AÎM(X,Y) | ||
.. ... | .. .. | |||
. . | - . . . | |||
xn x | Axn Ax | .-.AÎN(X,Y) | ||
X ~ Y M | $ AÎM(X,Y) | .. X,YÎObM | ||
AÎObS | AÎS(X,Y) | .. AÎObS | ||
Aa Î L(C[0,1]) | Aa Î N(C[0,1]) | .. aÎC[0,1] | ||
||x||sup | ||x||2 | x(t) = t, x:[0,1]R | ||
UÈV Î tX | U,V ÎtX | ..U,VÍ<X,tX> | ||
2. - 2.
., . K | . . K, ObK | ||||
A-1Î K(Y,X)ç A*A-1 = 1Y & A-1*A= 1X | . K | ||||
(..) (..) | (..) (..) | ||||
t | .ux, (.. xÎ ux Î t) | ||||
xn ½ n,m ¥ Þd(xn , xm ) 0 | , xn x | ||||
Bx,r = {yÎX½ d(x,y) < r} Í X | x, ux | ||||
, ||. || | |||||
ÎT(X,Y)| $ A-1 | |||||
L | . - AÎL(X,Y) | ||||
L | S | . - AÎL(X,Y) | |||
S(X,Y) | M(X,Y) | -,X,YÎObM | |||
M(X,Y) | N(X,Y) | ||||
3. - 3.
K(X, Y) . K X Y | .ObS | |||
. , A-1 | A-1Î K(Y,X)ç A*A-1= 1Y & A-1*A= 1X | |||
(..) (..) | (..) (..) | |||
. . | x, ux | |||
xn ½ n,m ¥ Þd(xn , xm ) 0 | ||||
.. X, tO | .ux, (.. xÎ ux Î t) | |||
||. ||: X [0, +¥) ½" x,yÎ X, l Î R(C) 1 || x || = 0 Û x = q 2 || lx || = ½l½ || x || 3 || x + y || £ || x || + || y || | , ||. || | |||
T | ||||
A | S | . - AÎS(X,Y) | ||
M(X,Y) | N(X,Y) | -,X,YÎObN | ||
L | S | |||
S | T(X,Y) | |||
4. - 4.
. K(X, Y) | A:XY | |||
(..) (..) | (..) (...) | |||
A:XY "(x Î X, uAx ÎtY ) $ vx ÎtX ½A(vx)ÍuAx | ., AÎ T(X,Y) | |||
.., " ( x Î X) | .. | |||
tO = {u Î Ã(X)½ x Î u Þ u Ê Bx,r r> 0 } | .. X, tO | |||
.. d(x,y) = || x - y || | (..) | |||
L | $ A-1 Î S(Y,X) | . - AÎL(X,Y) | ||
S | A | . - AÎS(X,Y) | ||
T(X,Y) | M(X,Y) | -,X,YÎObM | ||
T | S | |||
N(X,Y) | N | |||
5. - 5.
K(X,Y) ´ K(Y,Z) K(X,Z), : 1. : C*(B*A) = (C*B)*A, 2. : " YÎObK$ 1YÎK(Y,Y)½ 1Y*A = A " A Î K(X, Y) & B*1Y = B " B Î K(Y, Z) | . K, ComK | ||||||||
ObK: X ~ Y Û $ A:XY | , , | ||||||||
T, : ObT .., T(X,Y) .. A:XY, ComT = ComS½T(X,Y) ´ T(Y,Z)(.. T S) | |||||||||
<X, d>, d - . | (..), | ||||||||
.. | |||||||||
tO = {u Î Ã(X)½ x Î u Þ u Ê Bx,r r> 0 } | |||||||||
(..), | .. d(x,y) = || x - y || | ||||||||
$ A-1 Î S(Y,X) | M | . - AÎM(X,Y) | |||||||
S | . - AÎS(X,Y) | ||||||||
L(X,Y) | N(X,Y) | -,X,YÎObN | |||||||
N | M | ||||||||
A - . L | ÎN(X,Y) ÎN(Y,Z) | .- , - . S | |||||||
6. - 6.
. , : 1. ObP Í ObK 2. P(X,Y) Í K(X,Y)" X,Y Î ObP 3. ComP = ComK½P(X,Y) ´ P(Y,Z) (.. K P) | , , | ||||||||
S, : ObS ., S(X,Y) . A:XY, ComS : 1 (B*A)(x) = B[A(x)] 2 1x(x) = x | , S | ||||||||
A:XY "(x Î X, uAx ÎtY ) $ vx ÎtX ½A(vx)ÍuAx | ., AÎ T(X,Y) | ||||||||
(..), | |||||||||
.. .., A Î N(X,Y) | A:XY : (xÎX,xnx)ÞAxnAx | ||||||||
T | $ A-1 Î S(Y,X) | . - AÎT(X,Y) | |||||||
S | M | . - AÎM(X,Y) | |||||||
S(X,Y) | N(X,Y) | -,X,YÎObN | |||||||
T | N | ||||||||
ÎN(X,Y) ÎN(Y,Z) | A - . T | .- , - . S | |||||||
ObS | .. | ||||||||
U,V ÎtX | UÇV Î tX | .. <X,tX>, U,V Í X | |||||||
7. - 7.
K(X, Y) . K X Y | .ObS | ||||||
(..) (..) | |||||||
. . | t | ||||||
A:XY "(x Î X, uAx ÎtY ) $ vx ÎtX ½A(vx)ÍuAx | ., AÎ T(X,Y) | ||||||
(..), | |||||||
.. d(x,y) = || x - y || | (..) | ||||||
$ A-1 Î S(Y,X) | M | . - AÎM(X,Y) | |||||
T(X,Y) | M(X,Y) | -,X,YÎObM | |||||
- N(X,Y) | S | ||||||
ObN | ObT | ||||||
ObS | S(X,Y) | -,X,YÎObS | |||||
||x||1 | ||x||2 | x=<1,1/2,1/3,...> | |||||
8. - 8.
<ObK, K(X, Y) "X,YÎObK, ComK>, ObK- . . K, K(X, Y) - . . X Y, ComK - . K | (.), K | ||||
P K | , , | ||||
(..) (..) | |||||
t Í Ã(X) : 1 {Æ, X} Í t 2 u, v Î tÞ u Ç v Ît 3 s Í t Þîþu Î t uÎs | , t | ||||
, xn x | xn ½ n ¥ Þd(xn , x) 0 | ||||
( ..), Bx,r | Bx,r = {yÎX½ d(x,y) < r} Í X | ||||
<X,||. || >, ||. || - .. | (..), | ||||
A:XY 2 : 1 ; 2 | .. .., A Î N(X,Y) | ||||
T | A:XY - | . - AÎT(X,Y) | |||
N | S | . - AÎN(X,Y) | |||
L(X,Y) | T(X,Y) | -,X,YÎObL | |||
L | N(X,Y) | ||||
ã .. 2005 m_k.doc