Нехай задано функцію z = f (x, y).
Означення. Частинною еластичністю функції f відносно х називається величина
. (12)
Частинною еластичністю функції f відносно у називається величина
. (13)
Інтерпретація. 
:
Відсоткове відношення функції наближено дорівнює відсотковому відношенню змінної х з коефіцієнтом 
(коли у — величина стала).
Найчастіше в економіці застосовують поняття еластичності попиту.
Нехай функції q 1 = f 1(p 1, p 2) i q 2 = f 2(p 1, p 2) виражають попит на товари А і В, що залежать від цін р 1 і р 2 на зазначені товари. Частинні еластичності попиту щодо цін р 1 і р 2 за формулами (12) і (13) набирають вигляду:
Інтерпретація. Частинна еластичність 
попиту на товар А щодо ціни р 1 цього товару наближено подає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А, якщо його ціна зростає на 1%, а ціна товару В лишається незмінною.
Частинна еластичність 
попиту на товар А щодо ціни товару В наближено подає відсоток підвищення (зниження) попиту на товар А, якщо ціна товару В зростає на 1%, а товару А залишається без змін.
Приклад. Функція попиту на товар А подається у вигляді
.
Знайти частинні коефіцієнти еластичностей.
●Маємо
.
Для цін р 1 = 2, р 2 = 4
.
Це означає, що коли ціна товару А зростає на 1%, а товару В залишається без змін, то попит на товар знижується на 0,2%. Рівність
відбиває аналогічну залежність: якщо ціна товару В зростає на 1% за незмінної ціни товару А, то попит на цей товар зростає приблизно на 0,2%.◄
Економічна задача, що приводить до частинних похідних
Функцією 
подається залежність обсягу виробництва від факторів А і В, кількість яких становить відповідно а та b одиниць.
Припустимо, що кількість фактора А зростає, тоді як кількість фактора В лишається незмінною.
Відповідно приріст обсягу випуску продукції подається різницею 
а відношення цього приросту до приросту кількості фактора А набирає вигляду:
.
Якщо 
маємо
Це гранична продуктивність фактора А. Аналогічно, гранична продуктивність фактора В
Приклад. Для деякого товару визначено виробничу функцію
де x, y — фактори виробництва. Знайти граничну продуктивність фактора x.
● Запишемо частинну похідну виробничої функції за змінною x:
Це і є гранична продуктивність фактора x.◄
Максимізація прибутку від випуску товарів
Нехай виробничі функції кожного з двох продуктів залежать від двох факторів. Сумарна кількість кожного фактора фіксована. За яких умов прибуток буде максимальним, якщо ціни на продукцію відомі?
Позначимо х 1, х 2 — обсяг випуску відповідно першого та другого продукту; х 3, х 4, х 5, х 6 — обсяги факторів, використовуваних для виробництва першого і другого продуктів з відповідною виробничою функцією:
Задано обмеження на кількість факторів
Функція Лагранжа в цьому разі набирає вигляду:
Прирівнюючи частинні похідні за х 1, х 2, х 3,..., х 6 до нуля, ді-
стаємо:
Звідси знаходимо умови, які максимізують прибуток:
Отже, вартість граничного продукту за кожним фактором буде однаковою в обох галузях. Зауважимо, що всі множники Лагранжа дорівнюють цінам. Якщо розглядається конкурентне ціноутворення, то 
— ціни продуктів, а 
— ціни факторів.
Література:
Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-х ч. — К.: кнеу, 2001. — Ч. 2. — 451 с.
