Коэффициенты полных материальных затрат и методы их расчета

Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

,

(13)

где и - изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Как уже отмечалось, коэффициенты полных затрат включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой "руда-чугун-сталь-прокат". Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т.д. Схематически это можно отразить так:

Чтобы подсчитать полные затраты одного вида продукта на 1 ед. другого, например электроэнергии на 1 ед. проката, нужно сложить прямые и косвенные затраты всех порядков.

Косвенные затраты С в ряде (10) представлены в виде матриц А², А³ и т.д.

Из ряда (10) с учетом (14)

или в поэлементной записи:

,

(16)

bij aij и bii 1+aii.

(17)

Как видим из формулы (16), диагональные элементы матрицы В на единицу больше суммы прямых и косвенных затрат, так как коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам нахождения матрицы B.

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А известна, то матрицу В можно находить:

1) по формулам обращения матриц, приводимым в курсе алгебры;

2) используя разложение в ряд Неймана (10).

Второй способ является приближенным.

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В.

При этом способе предварительно находят матрицу Е-А. Затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют (Е-А)^-1. Используется, например, формула:

,

(18)

где в числителе стоит матрица, присоединенная к матрице (Е-А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е-А)', а в знаменателе стоит определитель матрицы (Е-А). Алгебраические дополнения, в свою очередь, для элемента с индексами i и j получаются путем умножения множителя (-1)^i+j на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i -ой строки и j -го столбца.

Пример 1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А:

Найти коэффициенты полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Порядок вычислений:

а) находим матрицу (Е-А):

б) вычисляем определитель этой матрицы:

в) транспонируем матрицу (Е-А):

г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е-А)':

Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

д) используя формулу (18), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется чаще формула (10).

В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком). При расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков.

Пример 2. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А:

Найти коэффициенты полных материальных затрат по второму (приближенному) способу, учитывая косвенные материальных затраты до 2-го порядка включительно.

а) найдем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

б) матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

в) матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

Как отмечалось ранее, элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов этой матрицы, рассчитанной по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

3.3. Методика расчета планового баланса
по заданным плановым уровням конечной продукции Y_i^пл

В целом плановый баланс при заданных величинах конечной продукции Y_i^пл рассчитывается в следующей последовательности:

1. По имеющемуся отчетному балансу рассчитываются коэффициенты прямых материальных затрат:

2. По матрице коэффициентов прямых материальных затрат А рассчитывается матрица коэффициентов полных затрат В.

Матрица B может быть рассчитана следующими способами:

· по формуле Неймана: В=Е+А+А²+А³+…;

· через обратную матрицу: В=(Е-А)^-1.

3. Рассчитываются плановые валовые выпуски:

.

4. Определяются плановые межотраслевые потоки:

5. Определяются элементы вектора условно-чистой продукции:

6. Проверяется правильность вычислений:

7. Формируется межотраслевой баланс производства и распределения продукции.