Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ ρ y'+qy=f (x), где ρ и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ ρ y'+qy =0,
у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K ² + ρ K+q =0
называется характеристическим уравнением данного уравнения.
Характеристическое уравнение является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К ₁ и К ₂.
Общее решение уравнения может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D =ρ²–4 q уравнения следующим образом:
1. При D >0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К ₁≠ К ₂), и общее решение имеет вид .
2. При D =0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К ₁= К ₂= К), и общее решение имеет вид:
3. Если D <0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К ₁=α+β i, К ₂=α–β i, β≠0), имеет вид y = e ^{α x} (C ₁ cosβ x + C ₂ sinβ x).

Пример 1. Найти общее уравнение y''–y' –2 y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K ² –K –2=0, его корни К ₁=1, К ₂=–2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y = C ₁ e^x + C ₂ e ^{–2 x} .

Пример 2. Найти общее решение уравнения y'' –2 y' + y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К ²–2 К +1=0, его корни К ₁ = К ₂=1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y = e^x (C ₁+ C ₂ x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения y'' –4 y' +13 y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К ²–4 К +13=0, его корни К ₁=2+3 i, К ₂=2–3 i комплексные. Общее решение уравнения имеет вид y = e ^{2 x} (C ₁ cos3 x + C ₂sin3 x).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:
y''+ ρ x+qy = f (x),
где f (x) – непрерывная функция, отличная от нуля.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения y_о соответствующего однородного уравнения (1):
.
Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения.
1) Пусть правая часть имеет вид f (x)= e ^{α x} P_n (x), где P_n (x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ищем в виде , где Q_n (x) – многочлен той же степени, что и P_n (x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения.

Пример 4. Найти общее решение уравнения y'' –2 y'+y = x ²+1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y_o = e^x (C ₁+ C ₂ x)(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (К ₁= К ₂=1), то частное решение ищем в виде , где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды =Ax ² +Bx+C и подставляя =Ax ² +Bx+C, , в данное уравнение находим 2 A– 4 Ax– 2 B+Ax ² +Bx+C=x ² + 1, или Ax ² + (B– 4 A) x+ 2 A– 2 B+C=x ² + 1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А =1, В -4 А =0, 2 А -2 В + С =1, Находим А =1, В =4, С =7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение - .
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y _o = C ₁ e^x + C ₂ e ^{–2 x} (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e ^{α x} при α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде =A ∙ e ^{2 x} .
Дифференцируя и подставляя в уравнение получаем:
и , откуда , .
Подставляя найденное значение А в выражение для , найдем частное решение данного уравнения и общее решение запишется в виде . Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. .
Подставляем начальные условия в у и у', находим С ₁ и С ₂:

.
Подставляя найденное значение С ₁ и С ₂ в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения
.
2) Пусть правая часть имеет вид и α+β i, (α–β i) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде .
Если же α+β i, (α–β i) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде .

Пример 6. Найти общее решение уравнения .
Решение. Здесь характеристическое уравнение К ²+1=0 имеет корни К ₁= i, К ₂=- i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y = C ₁cos x + C ₂sin x. В правой части стоит тригонометрическое функция то есть a =0, b =1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: .
Дифференцируя и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим , откуда , т.е. частное решение , а общее решение уравнения: .