Уравнение вида y''+ ρ y'+qy=f (x), где ρ и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ ρ y'+qy =0,
у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K 2 + ρ K+q =0
называется характеристическим уравнением данного уравнения.
Характеристическое уравнение является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К 1 и К 2.
Общее решение уравнения может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D =ρ2–4 q уравнения следующим образом:
1. При D >0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К 1≠ К 2), и общее решение имеет вид 
.
2. При D =0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К 1= К 2= К), и общее решение имеет вид: 
3. Если D <0, то корни характеристического уравнения комплексные: 
, где 
– мнимая единица, 
и общее решение (К 1=α+β i, К 2=α–β i, β≠0), имеет вид y = e α x (C 1 cosβ x + C 2 sinβ x).
Пример 1. Найти общее уравнение y''–y' –2 y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K 2 –K –2=0, его корни К 1=1, К 2=–2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y = C 1 ex + C 2 e –2 x .
Пример 2. Найти общее решение уравнения y'' –2 y' + y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К 2–2 К +1=0, его корни К 1 = К 2=1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y = ex (C 1+ C 2 x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения y'' –4 y' +13 y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К 2–4 К +13=0, его корни К 1=2+3 i, К 2=2–3 i комплексные. Общее решение уравнения имеет вид y = e 2 x (C 1 cos3 x + C 2sin3 x).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:
y''+ ρ x+qy = f (x),
где f (x) – непрерывная функция, отличная от нуля.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения 
неоднородного уравнения и общего решения yо соответствующего однородного уравнения (1):
.
Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения.
1) Пусть правая часть имеет вид f (x)= e α x Pn (x), где Pn (x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ищем в виде 
, где Qn (x) – многочлен той же степени, что и Pn (x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения.
Пример 4. Найти общее решение уравнения y'' –2 y'+y = x 2+1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yo = ex (C 1+ C 2 x)(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения 
не равен нулю (К 1= К 2=1), то частное решение ищем в виде 
, где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды =Ax 2 +Bx+C и подставляя =Ax 2 +Bx+C, 
, 
в данное уравнение находим 2 A– 4 Ax– 2 B+Ax 2 +Bx+C=x 2 + 1, или Ax 2 + (B– 4 A) x+ 2 A– 2 B+C=x 2 + 1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А =1, В -4 А =0, 2 А -2 В + С =1, Находим А =1, В =4, С =7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид 
, а общее решение - 
.
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y o = C 1 ex + C 2 e –2 x (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e α x при α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде 
=A ∙ e 2 x .
Дифференцируя и подставляя в уравнение получаем:
и 
, откуда 
, 
.
Подставляя найденное значение А в выражение для , найдем частное решение данного уравнения 
и общее решение запишется в виде 
. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. 
.
Подставляем начальные условия в у и у', находим С 1 и С 2:
.
Подставляя найденное значение С 1 и С 2 в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения
.
2) Пусть правая часть имеет вид 
и α+β i, (α–β i) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде 
.
Если же α+β i, (α–β i) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде 
.
Пример 6. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Здесь характеристическое уравнение К 2+1=0 имеет корни К 1= i, К 2=- i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y = C 1cos x + C 2sin x. В правой части стоит тригонометрическое функция 
то есть a =0, b =1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: 
.
Дифференцируя и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим 
, откуда 
, т.е. частное решение 
, а общее решение уравнения: 
.
