Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

РЕФЕРАТ

На тему: “дифференциальные уравнения второго порядка”.

 

 

Выполнил: студент 205 группы

специальности “фармация”

Петухов.М.С

Проверила: Максимова.И.В

 

 

г.Ижевск 2012

Содержание

1. Введение – 1стр

2. Основные понятия – 2стр

3. Линейные ДУ первого порядка – 2стр

4. Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами – 3стр

5. ДУ в частных производных – 7стр

6. Обыкновенные ДУ – 7стр

7. ДУ с частными производными с особенностями в коэффициентах – 8стр

8. Дифференцированные Уравнения – 9стр

9. Литература – 10стр

10. Заключение – 11стр

 

 

Введение

Определение производной от данной функции составляет прямую зада-

чу исчисления бесконечно-малых величин. Общий вопрос обратной задачи

исчисления бесконечно малых состоит в том, чтобы определить одну или

несколько функций одного или нескольких переменных из данных соотно-

шений между независимыми переменными, функциями и их производны-

ми. Пусть имеется ряд независимых переменных:

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,... 𝑥𝑛

и ряд функций от этих переменных

𝑦1, 𝑦2, 𝑦3,... 𝑦𝑚.

Тогда соотношения, о которых идет

называются дифференциальными уравнениями; порядок наивысшей про-

изводной называется порядком уравнения. Если 𝑛 = 1, то есть независимое

переменное одно, то уравнения называются обыкновенными, если же 𝑛 > 1,

то — уравнениями с частными производными.

Eсли в уравнения входят производные до порядка 𝑝, то уравнение называ-

ется уравнением -го порядка.

 

Определение функций из дифференциальных уравнений, или интегри-

рование дифференциальных уравнений, можно понимать различно.

Самая узкая постановка задачи следующая: выразить искомую функ-

цию через элементарные функции. В этом смысле, вообще говоря, задача,

конечно, не всегда разрешима, так как даже для самого простейшего диф-

ференциального уравнения

𝑑𝑦/𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)

имеем

𝑦 =∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶

и 𝑦 не всегда выражается в элементарных функциях, хотя бы это и имело

место для 𝑓(𝑥).

Во-вторых, нахождение функции, удовлетворяющей дифференциально-

му уравнению, можно понимать в смысле указания приема, которым по

каждому значению переменного находится значение функции. Такие при-емы могут быть весьма разнообразны, например, задача в этом смысле

будет разрешена, коль скоро будет найдено разложение функции в сходя-

щийся ряд, более или менее простого типа. Взяв известное число членов,

для каждого значения переменного в пределах сходимости ряда получим

с любым приближением значение функции.

Третье толкование определения функции из дифференциального урав-

нения состоит в том, что мы считаем задачу разрешенной, как только нам

удастся привести ее к другим более простым задачам, и именно к вычисле-

нию интегралов данных функций, или квадратурам. Таким образом, воз-

никает вопрос о дифференциальных уравнениях, приводимых к квадрату-

рам.

Дифференциальные уравнения

1. Основные понятия

Определение. Уравнение вида
F (x, y, y', y'',…, y ⁽ⁿ⁾) = 0,
связывающее аргумент х, функцию у (х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n -го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция у = φ(х, С ₁ ,С ₂ ,…,С_n), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С ₁, С ₂, …, С_n, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у ⁽ⁿ⁾ уравнение в тождество.
Определение. Частным решением уравнения называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С ₁, С ₂, …, С_n определенные числовые значения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ ρ(x) y=f (x), где ρ(x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+ 3 y=e ^{2 x} и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х =0, у =1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f (x)= e ^{2 x} .
Решение ищем в виде y=U ∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U' υ+ U υ ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U' υ +U υ ' +3 U υ= e ^{2 x} или U' υ +U (υ ' +3υ)= e ^{2 x} .
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ ' +3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3 x,υ= e ^{–3 x} .
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
. 2
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: .