РЕФЕРАТ
На тему: “дифференциальные уравнения второго порядка”.
Выполнил: студент 205 группы
специальности “фармация”
Петухов.М.С
Проверила: Максимова.И.В
г.Ижевск 2012
Содержание
1. Введение – 1стр
2. Основные понятия – 2стр
3. Линейные ДУ первого порядка – 2стр
4. Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами – 3стр
5. ДУ в частных производных – 7стр
6. Обыкновенные ДУ – 7стр
7. ДУ с частными производными с особенностями в коэффициентах – 8стр
8. Дифференцированные Уравнения – 9стр
9. Литература – 10стр
10. Заключение – 11стр
Введение
Определение производной от данной функции составляет прямую зада-
чу исчисления бесконечно-малых величин. Общий вопрос обратной задачи
исчисления бесконечно малых состоит в том, чтобы определить одну или
несколько функций одного или нескольких переменных из данных соотно-
шений между независимыми переменными, функциями и их производны-
ми. Пусть имеется ряд независимых переменных:
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,... 𝑥𝑛
и ряд функций от этих переменных
𝑦1, 𝑦2, 𝑦3,... 𝑦𝑚.
Тогда соотношения, о которых идет
называются дифференциальными уравнениями; порядок наивысшей про-
изводной называется порядком уравнения. Если 𝑛 = 1, то есть независимое
переменное одно, то уравнения называются обыкновенными, если же 𝑛 > 1,
то — уравнениями с частными производными.
Eсли в уравнения входят производные до порядка 𝑝, то уравнение называ-
ется уравнением -го порядка.
Определение функций из дифференциальных уравнений, или интегри-
рование дифференциальных уравнений, можно понимать различно.
Самая узкая постановка задачи следующая: выразить искомую функ-
цию через элементарные функции. В этом смысле, вообще говоря, задача,
конечно, не всегда разрешима, так как даже для самого простейшего диф-
ференциального уравнения
𝑑𝑦/𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)
имеем
𝑦 =∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
и 𝑦 не всегда выражается в элементарных функциях, хотя бы это и имело
место для 𝑓(𝑥).
Во-вторых, нахождение функции, удовлетворяющей дифференциально-
му уравнению, можно понимать в смысле указания приема, которым по
каждому значению переменного находится значение функции. Такие при-емы могут быть весьма разнообразны, например, задача в этом смысле
будет разрешена, коль скоро будет найдено разложение функции в сходя-
щийся ряд, более или менее простого типа. Взяв известное число членов,
для каждого значения переменного в пределах сходимости ряда получим
с любым приближением значение функции.
Третье толкование определения функции из дифференциального урав-
нения состоит в том, что мы считаем задачу разрешенной, как только нам
удастся привести ее к другим более простым задачам, и именно к вычисле-
нию интегралов данных функций, или квадратурам. Таким образом, воз-
никает вопрос о дифференциальных уравнениях, приводимых к квадрату-
рам.
Дифференциальные уравнения
1. Основные понятия
Определение. Уравнение вида
F (x, y, y', y'',…, y (n)) = 0,
связывающее аргумент х, функцию у (х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n -го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция у = φ(х, С 1 ,С 2 ,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С 1, С 2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у (n) уравнение в тождество.
Определение. Частным решением уравнения называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С 1, С 2, …, Сn определенные числовые значения.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Уравнение вида y'+ ρ(x) y=f (x), где ρ(x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+ 3 y=e 2 x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х =0, у =1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f (x)= e 2 x .
Решение ищем в виде y=U ∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U' υ+ U υ ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U' υ +U υ ' +3 U υ= e 2 x или U' υ +U (υ ' +3υ)= e 2 x .
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ ' +3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: 
ln υ =–3 x,υ= e –3 x .
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
. 2
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: 
.
