Выполнению контрольной работы

Приступая к самостоятельному выполнению контрольной работы, студенты должны изучить основные вопросы программы, приведенные выше, пользуясь материалами установочных лекций и рекомендованной литературой. Контрольная работа состоит из шести заданий. Ниже приводится образец выполнения контрольной работы с краткими комментариями.

ЗАДАНИЕ 1

Выполнение этого задания предполагает применение формулы полной вероятности или формул Байеса.

Типовой пример:

Имеются две одинаковые урны. В первой находятся 10 белых и 2 черных шара, во второй – 9 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали одну урну и из нее наудачу извлекли один шар. Какова вероятность того, что шар окажется черным? Какова вероятность того, что черный шар извлекли из второй урны?

Решение:

Пусть событие A заключается в том, что извлеченный шар оказался черным. Событие A может произойти только совместно с одним из следующих событий (гипотез), образующих полную группу:

H₁ - выбрана первая урна,

H₂ - выбрана вторая урна.

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:

Вероятности гипотез H₁ и H₂ вычисляются по классическому определению: , (и там, и там общее число исходов равно двум, а благоприятных исходов - по одному). Условные вероятности и найдем из условия задачи: - вероятность того, что шар окажется черным при условии, что его вынули из первой урны (всего в урне 12 шаров, среди них – 2 черных). - вероятность того, что шар окажется черным при условии, что его вынули из второй урны (всего в урне 12 шаров, среди них – 3 черных). Находим

Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся формулой Байеса:

при , т. к. нас интересует вероятность гипотезы H₂ (шар извлечен из второй урны) после того, как событие A (шар оказался черным) произошло. Получим:

Таким образом, вероятность гипотезы после опыта больше, чем до него.

Ответ: ; .

ЗАДАНИЕ 2

Выполнение этого задания требует применение формулы Бернулли, локальной и интегральной теорем Лапласа.

Типовой пример:

Опытным путем установлено, что вероятность попадания стрелком в цель при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) в результате пяти выстрелов произойдет три попадания; б) в результате ста выстрелов произойдет восемьдесят попаданий; в) в результате ста выстрелов произойдет от восьмидесяти пяти до девяноста пяти попаданий.

Решение:

а) Так как число испытаний невелико (n = 5), то применим формулу Бернулли:

где n=5, k=3, p=0,9, q=1-0,9=0,1.

Получим:

б) При воспользуемся локальной теоремой Лапласа

где

, .

По условию задачи , , , . Найдем

По таблице значений функции (см. приложение 1 учебника [3]) найдем . Следовательно,

в) Здесь воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

где , , - функция Лапласа, значения которой находят по таблице (см. приложение 2 учебника [3]).

В нашей задаче , , , , .

Находим: , .

Искомая вероятность равна:

(Значение нашли по таблице).

Ответ: 0,0729; 0,0053; 0,905.

ЗАДАНИЕ 3

Для выполнения этого задания следует знать понятие дискретной случайной величины, закон ее распределения, числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства.

Типовой пример

Независимые случайные величины X и Y имеют следующие законы распределения:

Х	-1				Y
P	0.2	0.3	0.5		P	0.4	0.6

Найти:

1) закон распределения случайной величины ;

2) вычислить M (Z) и D (Z) двумя способами: а) пользуясь законом распределения ; б) применяя свойства математического ожидания и дисперсии.

Решение:

1) Чтобы найти закон распределения Z, вычислим все ее значения, которые получим, рассматривая каждое из возможных значений случайной величины X в паре с каждым из возможных значений случайной величины Y. Подставляя значения и в выражение , найдем значение . Вероятность его получим, перемножив соответствующие вероятности 0,2 значения и 0,4 значения ,т.е. . Аналогично вычисляются все остальные значения и соответствующие им вероятности:

;

; .

Полученные результаты занесем в таблицу, располагая значения Z в порядке возрастания:

	-3	-1
	0.12	0.18	0.08	0.3	0.12	0.2

а) Пользуясь законом распределения Z, найдем и :

= ,

где

б) Пользуясь свойствами, найдем и :

0,8,

где

0,3

1,6

4,6, где

= 0,61,

= = 0,24

Ответ: M (Z)=0,8; D (Z)=4,6.

ЗАДАНИЕ 4

Прежде чем приступить к выполнению этого задания, следует выучить определение нормального распределения, вид дифференциальной функции, уметь строить ее график (кривую Гаусса), знать вероятностный смысл основных параметров и нормального распределения.

Типовой пример:

– нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти: 1) ; 2) ; 3) построить кривую Гаусса и на ней пояснить геометрический смысл полученных результатов.

Решение:

1) Вероятность того, что нормальная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , вычисляется по формуле

где – функция Лапласа.

Полагая , получим:

Значения и нашли по таблицам приложения 2 учебника [3]. Кроме того, учли свойство нечетности функции Лапласа: .

2) Вероятность того, что модуль отклонения нормальной случайной величины не превысит величины , вычисляется по формуле:

Полагая , найдем:

3) Для построения кривой Гаусса следует знать координаты точки ее максимума и двух точек перегиба и . В нашем примере точка максимума имеет координаты , а точки перегиба - и . При построении кривой Гаусса для большей наглядности целесообразно выбирать разный масштаб вдоль координатных осей (см. рис. 1).

Вероятность попадания случайной величины в интервал геометрически равна площади криволинейной трапеции, построенной на интервале оси абсцисс и ограниченной сверху кривой Гаусса, т. е. .

Вероятность того, что модуль отклонения не превысит единицы, равна площади криволинейной трапеции, имеющей основанием интервал , т. е. , и ограниченной сверху кривой Гаусса: .

Рис. 1

ЗАДАНИЕ 5

Для выполнения этого задания необходимо знать основные понятия, задачи и методы математической статистики. В частности, понятие выборки, выборочных средних характеристик, алгоритм метода произведений, понятие доверительного интервала для оценки неизвестных статистических параметров.

Типовой пример:

Методом произведений найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение количественного признака X, имеющего статистическое распределение:

x_i	10,3	12,3	14,3	16,3	18,3	20,3
n_i

Считая количественный признак распределенным по нормальному закону, найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью

Решение

Для удобства вычислений составим следующую таблицу

x_i	n_i	u_i	u_in_i	u_i ² n_i	(u_i+ 1)² n_i
10,3		-2	-26
12,3		-1	-19
14,3			-45
16,3
18,3
20,3

	N =100		=25

по правилам:

1) в столбец x_i вносим все варианты;

2) в столбец n_i записываем частоты; сумму частот N помещаем в нижнюю строку;

3) выбираем ложный нуль C =14,3 (это варианта, расположенная в середине ряда и имеющая наибольшую частоту) и в столбце u_i ставим 0 против указанной варианты. Над нулем последовательно проставляем –1, –2 и т. д., а под нулем 1, 2 и т. д.;

4) в столбце u_in_i записываем произведения условных вариант u_i на соответствующие частоты n_i; подсчитываем сумму –45 отрицательных и 70 положительных произведений; их сумму 25 помещаем в нижнюю строку;

5) в столбце u_i ² n_i записываем произведения квадратов вариант на соответствующие частоты; их сумму 217 помещаем внизу;

6) в столбец (u_i+ 1)² n_i записываем произведения условных вариант, увеличенных на единицу, и соответствующих частот; их сумму 367 записываем в нижней клетке столбца.

Чтобы убедиться в правильности вычислений, проверим равенство:

Найдем

Шаг h вариационного ряда равен разности между любыми соседними вариантами:

h =12,3-10,3=2.

Выборочную среднюю найдем по формуле

Выборочная дисперсия D_в определяется по формуле

Выборочное среднее квадратическое отклонение будет равно

Замечание: в контрольной работе при оформлении решения задания 5 комментарии по заполнению таблицы приводить не надо. Решение должно содержать таблицу, значения ложного нуля C, шага h и вычисления , , , и .

Решение:

Найдем доверительный интервал , где Определим t как аргумент функции Лапласа из равенства:

По таблицам приложения 2 учебника [3] найдем t = 1,96.

Следовательно,

Итак, искомый доверительный интервал равен: (14,8-0,568; 14,8+0,568), т.е. 14,232<a<15,368.Это значит, сто при достаточно большом числе выборок можно ожидать, что в 95% их математическое ожидание попадет в указанный доверительный интервал.

ЗАДАНИЕ 6

Это задание требует знание понятия корреляционной зависимости, уравнения прямой линии регрессии, выборочного коэффициента корреляции.

Типовой пример

Пусть известны значения товарооборота Y в миллионах рублей за 5 истекших лет (X - год), заданные таблицей:

X
Y

1. Составить уравнение линии регрессии, предполагая линейную корреляционную зависимость товарооборота от времени.

2. Оценить тесноту связи между факторами X и Y по значению выборочного коэффициента корреляции r_в.

3. Спрогнозировать товарооборот на 6-й и 8-й годы.

4. Выполнить график линии регрессии. Эмпирические значения товарооборота нанести на график звездочками.

Решение:

Заполним следующую таблицу:

(год)	(млн. р.)

где

; ;

;

; .

1. Составим уравнение y_x = kx + b линии регрессии. Параметры k и b найдем по формулам:

;

Найденные значения k и b подставим в уравнение линии регрессии Y на X и получим

y_x =0,5 x +2,1. (*)

2. Вычислим выборочный коэффициент корреляции r_в по формуле

где ,

, k =0,5.

Получим .

Так как , то между факторами X и Y существует достаточно тесная корреляционная зависимость.

3. Определим, каким ожидается товарооборот:

а) на 6-й год. Полагая в уравнении регрессии (*) x =6, получим:

(млн. руб.).

б) на 8-й год. При x =8 получим:

(млн. руб.).

4. Построим прямую линию регрессии Y на X: y_x =0,5 x +2,1. Прямая строится по любым двум точкам: при x =0 y =2,1; при x =1 y =2,7. Соединяя точки (0; 2,1) и (1; 2,7), проводим прямую линию регрессии (рис.2). На пересечении пунктирных прямых отмечаем эмпирические точки наблюдения.

Рис.2

ТАБЛИЦА ВЫБОРА ВАРИАНТА

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

		Последняя цифра шифра

Предпоследняя цифра шифра

		Последняя цифра шифра

Предпоследняя цифра шифра