«Алгебра и геометрия» для 1 курса мехмата (1-й семестр), специальность «Прикладная математика и информатика», 010501
1. Аналитическая геометрия на прямой. Предмет аналитической геометрии. Луч, начало системы координат. Числовая прямая, направленный отрезок, его величина и длина, свойства величины напр. отрезка. Деление отрезка в заданном отношении. Середина отрезка. ([ 1, Гл.1]).
2. Аналитическая геометрия на плоскости. Метод координат на плоскости и в пространстве. Полярные и декартовы координаты, связь между ними. Преобразования декартовых координат: сдвиг, поворот, общее преобразование. Деление отрезка в заданном отношении. Понятие об уравнениях линий и поверхностей, типы уравнений: явное, общее, параметрические. ([ 1, Гл.2]).
3. Уравнение прямой на плоскости. Уравнения прямой: с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Угол между прямыми. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Общее уравнение прямой. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой в отрезках. Решение простейших систем линейных уравнений. Определители второго и третьего порядков. Формулы Крамера. Исследование уравнений двух прямых. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Уравнение пучка прямых. ([ 1, Гл.3,4]).
4. Алгебра матриц. Матрицы их типы, операции над матрицами и их свойства. Умножение матриц и его свойства. Транспонирование матриц. Степени квадратной матрицы. Обратимость и односторонняя обратимость. Делители нуля, необходимое условие обратимости, существование обратимых и необратимых матриц. Многочлены от матрицы. ([ 3, §§1-3,5; 6 ]).
5. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Числовые поля. Основные задачи теории СЛАУ. Эквивалентные СЛАУ. Метод Гаусса. Матричная запись СЛАУ. Простейшие матричные уравнения. ([ 5, §1,2; 9 ]).
6. Теория определителей. Перестановки. Инверсии и транспозиции. Теоремы о транспозициях. Подстановки. Определитель n -го порядка – определение. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о миноре и алгебраическом дополнении. Вычисление определителя (разложением по строке/столбцу). Определитель треугольной матрицы. Определитель Вандермонда. Теорема Лапласа. Определитель произведения матриц. Правило Крамера. Однородная СЛАУ. ([ 5, §§3-7; 9 ]).
7. Комплексные числа (к.ч.). С истема комплексных чисел. Поле к.ч. Алгебраическая форма комплексного числа и операции над к.ч. Геометрическая интерпретация к.ч. и тригонометрическая форма к.ч. Операции над к.ч. в тригонометрической форме. Умножение, деление. Формула Муавра. Сопряженные к.ч. Корень квадратный из к.ч. Корень n -ой степени из к.ч. Корень n -ой степени из 1 и его свойства. Первообразные корни. ([ 5, Гл. 4]).
8. Многочлены. Равные многочлены. Операции над многочленами и их свойства. Деление во множестве многочленов. Теорема о делении с остатком.
Делители и свойства делимости. Наибольший общий делитель (НОД). Описание алгоритма Евклида определения НОД и доказательство его обоснованности. Корни многочленов. Теорема Безу и следствие из неё. Разложение многочлена на множители по корням. Кратность корня. Формулы Виета. Многочлены с вещественными коэффициентами и их корни, разложение многочлена с вещественными коэффициентами на неприводимые множители над полем вещественных чисел. Многочлены с целыми и рациональными коэффициентами. Целые и рациональные корни многочленов с рациональными и целыми коэффициентами. Производная многочлена. Корни многочлена и производной. ([ 5, §§20-24]).
9. Векторы и операции над ними. Разложение вектора по неколлинеарным векторам. Координаты вектора и скалярное произведение. Векторное произведение векторов. Координаты векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Координатная форма для смешанного произведения. Условия коллинеарности векторов, ортогональности векторов и компланарности векторов. ([ 1, Гл.7-10]).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 240 с.
2. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, 1964. - 336с.
3. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Проспект, 2008. – 400 с.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 280 с.
5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука.,1975. - 431 с.
6. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. 2-е изд., испр. и доп. – СПб, «Лань», 2004. – 960 с.
7. Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. М.: Вузовская книга, 2001. – 216 с.
8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука. 1984. –
336 с.
9. Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вуз. Книга. 2007. – 588 с.
10. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1968. – 304 с.
