Поверхности II порядка. Канонические уравнения

		Название поверхности	Каноническое уравнение
	эллипсоид	(рис.1)
	гиперболоиды	однополостный гиперболоид	(рис.2)
	двуполостный гиперболоид	(рис.4)
	конус	(рис.5)
	пароболоиды	эллиптический параболоид	(рис.3)
	гиперболический параболоид	(рис.6)
	цилиндры	эллиптический цилиндр
	гиперболический цилиндр
	параболический цилиндр
		пара плоскостей	левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей

Рисунок 1 Рисунок 2

Рисунок 3 Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

 

Варианты заданий

ЗАДАНИЕ 1

 

По координатам вершин треугольника АВС найти:1)длину стороны ВС;2)площадь треугольника АВС;3)уравнение ВС;4)уравнение высоты, проведенной из вершины А;5)длину высоты, проведенный из вершины А;6)расстояние от вершины А до стороны ВС;7)уравнение медианы, проведенной из вершины А до стороны ВС;8)уравнение биссектрисы внутреннего угла В; 9)угол В в радианах с точностью до 0,01.

1. А (4; 1), В (0;-2), С (-5; 10).

2. А (-7; 3), В (5;-2), С (8; 2).

3. А (5;-1), В (1;-4), С (-4; 8).

4. А (-14; 6), В (-2;1), С (1; 5).

5. А (6; 0), В (2;-3), С (-3; 9).

6. А (-9; 2), В (3;-3), С (6; 1).

7. А (7; -4), В (3:-7), С (-2;5).

8. А (-8; 4), В (4;-1), С (7; 3).

9. А (3; -3), В (-1;-6), С (-6; 6).

10. А (-6; 5), В (6;0), С (9; 4).

11. А (-6;-4), В (-10;-1), С (6; 1).

12. А (12; 0), В (18;8), С (0; 5).

13. А (-6;-2), В (-6;-3), С (10;-1).

14. А (8; 2), В (14;10), С (-4; 7).

15. А (2;-4), В (-2;-1), С (14; 1).

16. А (2;-1) В (8;7), С (-10; 4).

17. А (5;-3), В (1;10), С (17;2).

18. А (14;-6), В (20;2), С (2;-1).

19. А (3; 4), В (-1;7), С (15; 9).

20. А (1;-2), В (7;6), С (-11; 3).

21. А (-1; 1), В (7;5), С (4; 11).

22. А (-2; 1), В (6;7), С (3; 13).

23. А (2;-1), В (10;5), С (7; 11).

24. А (1; 1), В (9;7), С (6; 13).

25. А (-1; 2), В (7;8), С (4; 14).

 

 

ЗАДАНИЕ 2

1 Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон Х+Y-1=0 и Y+1=0, если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке (-1;0).

2Найти координаты точки симметрично точке (2;-4) относительно прямой 4Х+ЗY+1=0.

3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (-1:2) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми Х+2Y+1=0 и Х+2Y-3=0, лежит на прямой Х-Y- 6=0.

4 Даны уравнения двух сторон треугольника 4Х-5Y+9=0 и Х+4Y-3=0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке (3;1).

5 Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 2Х-Y+4=0 и 2Х-Y+10=0, и уравнение одной из его диагоналей Х+Y+2=0.

6 Даны две вершины треугольника А (-4; 5) и В (4; 1) и точка пересечения его высот Д (3; 5). Составить уравнения сторон треугольника.

7 Даны уравнения высот треугольника АВС: ЗХ+2Y+6=0 и Х-Y+5=0 и координаты одной из вершин А (-5; 3). Найти уравнения сторон

треугольника.

8 Даны уравнения двух сторон треугольника: 5Х-2Y-8=0 и ЗХ-2Y-8=0. Составить уравнения третьей стороны треугольника, если известно, что ее середина совпадает с началом координат.

9Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин А(2;-3), и уравнения двух высот 7Х-2Y-10=0 и 2Х-7Y+3=0.

10 Даны уравнения основания равнобедренного треугольника Х+Y-4=0 и боковой стороны Х-2Y+4=0. Точка А (-2; 3) лежит на второй боковой стороне. Найти уравнение второй боковой стороны.

11 Даны две противоположные вершины ромба А (3; 4) и С (1;-2) и уравнение одной из его сторон Х-Y+1=0. Найти уравнения остальных

сторон ромба.

12 Даны середины сторон треугольника М (2; 1), N (5; 3), Р (3;-4). Составить уравнения сторон треугольника.

13 Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин (1; 3) и уравнения двух медиан: Х-2Y +1=0 и Y-1=0.

14 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; 3) так, что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми Х+2Y +5=0 и Х+2Y+1=0, лежит на прямой Х-Y-5=0.

15 Составить уравнение сторон треугольника, зная одну изего вершин А (0;2), и уравнения высот ВМ: Х+Y=4 и СМ: Y=2Х. М-точка пересечения его высот.

16 Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСД заданы уравнениями 2Х-Y+5=0 и X-2Y+4=0, диагонали его пересекаются в точке М (1; 4). Найти длины его высот.

17 Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла С (3;-1) и уравнение гипотенузы 3Х-Y+2=0.

18 Две стороны параллелограмма заданы уравнением Y=Х-2 и 5Y=Х+6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнение двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

19 Вычислить площадь ромба, зная одну из его вершин А (0; 1), точку

пересечения его диагоналей М (4; 4) и точку Р (2; 0) на стороне АВ.

20 Через точку пересечения прямых 2Х-5Y-1=0 и Х+4Y-7=0 провести

прямую, делящую отрезок между точками А (4;-3) и В (-1; 2) в отношении 2:3.

21 Определить, при каких значениях m и n прямая (2m-n+5)Х+7n+19=0 параллельна оси ОY, прямая и отсекает на оси ОХ отрезок, равный 5(считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

22 Определить, при каком значении а прямая (а+2)х+(а² -9)у+3 а² -8а+5=0:

1)параллельна оси абсцисс;

2)параллельна оси ординат;

3)проходит через начало координат.

В каждом случае написать уравнение прямой.

23 Две стороны квадрата лежат на прямых 5Х-12Y-65=0 и 5Х-12Y+26=0. Вычислить его площадь.

24 Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В (-1; 4). Составить уравнения его сторон и вычислить его площадь.

25 Точка А (5;-1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4Х-3Y-7=0. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

 

ЗАДАНИЕ 3

 

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

 

1. а) 2х²-8х+у²-6у=0 б) х² +10х-4у+33=0

2. а) х² +4х-у²=0 б) у² -6х+2у-11=0

3. а) х²-8х-у²=0 б) х² -4х+5у+14=0

4. а) у²-6у-х²+2х=0 б) у² +х-4у+2=0

5. а) 6х² -25у² -18х-100у-316=0 б) х² -8х-3у+19=0

6. а) 5х² -6у²+10х-12у-31=0 б) у² -5х+6у+4=0

7. а) х² -4у²+6х+5=0 б) х² +6у+6х-6=0

8. а) 3х²-у² +12х-4у-4=0 б) у² +6х-8у+22=0

9. а) х² -4у²+2х-16у-7=0 б) х² +8х-2у+14=0

10. а) х² -4у²-4х+6у-5=0 б) у² -3х+10у+16=0

11. а) 4х²-9у² -8х+18у-23=0 б) 2х² -4х-у+3=0

12. а) 9х² -16у²-54х-64у-127=0 б) х-2у² +4у-3=0

13. а) х² +у²-2х+6у-5=0 б) х² -2х-у+2=0

14. а) х² +4у²+4х-8у-8=0 б) х-у² +2у-2=0

15. а) х² +2у²+8х-4=0 б) х² -2х+у+7=0

16. а) 4х² +9у²-40х+36у+100=0 б) х+у² -2у+3=0

17. а) 9х² -16у²-54х-64у-127=0 б) 2х² +8х+у+7=0

18. а) 9х² +4у²+18х-8у+49=0 б) х+2у² -4у+4=0

19. а) 4х² -у²+8х-2у+3=0 б) х² +4х+у+3=0

20. а) 2х² +3у²+8х-6у+11=0 б) х+2у² +4у+1=0

21. а) 3х² +3у²-6х+12у-5=0 б) х² +10х-4у+33=0

22. а) 3у² -х²+2х=2 б) у² -6х+2у-11=0

23. а) у² +4х²-2у=0 б) х² -4х+5у-6=0

24. а) 2х² +у²-6х=0 б) у² +3х+4у=0

25. а) 2х² -8х+у²+10у=3 б) х² -8х-3у+19=0

 

 

ЗАДАНИЕ 4

Построить график функции:

1.	14.
2.	15.
3.	16.
4.	17.
5.	18.
6.	19.
7.	20. .
8.	21.
9.	22.
10.	23. .
11.	24. .
12.	25. (ρ > 0).
13.

ЗАДАНИЕ 5

 

По координатам вершин пирамиды а₁ а₂ а₃ а₄ найти:

1) длины ребер а₁ а₂ и а₁ а₃ ;

2) угол между ребрами а₁ а₂ и а₁ а_з;

3) площадь грани а₁ а₂ а₃ ;

4) объем пирамиды а₁ а₂ а₃ а₄ ;

5) уравнения прямых а₁ а₂ и а₁ а₃ ;

6) уравнения плоской а₁ а₂ а₃ и а₁ а₂ а₄;

7) угол между плоскостями а₁ а₂ а₃ и а₁ а₂ а₄ ;

8) угол между ребром а₁ а₃ и гранью а₁ а₂ а₄;

9) уравнение высоты, опущенной из вершины а₄ на грань а₁ а₂ а₃ ;

10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а₄ на грань а₁ а₂ а₃ , и вершину а₁ пирамиды;

11) расстояние от вершины. а₃ до плоскости а₁ а₂ а_4.

 

	а1	а2	а3	а4
	(3;1;4)	(-1;6;1)	(-1;1;6)	(0;4;-1)
	(3;3;9)	(6;9;1)	(1;7;3)	(8;5;8)
	(3;5;4)	(5;8;3)	(1;9;9)	(6;4;8)
	(2;4;3)	(7;6;3)	(4;9;3)	(3;6;7)
	(9;5;5)	(-3;7;1)	(5;7;8)	(6;9;2)
	(0;7;1)	(4;1;5)	(4;6;3)	(3;9;8)
	(5;5;4)	(3;8;4)	(3;5;10)	(5;8;2)
	(6;1;1)	(4;6;6)	(4;2;0)	(1;2;6)
	(7;5;3)	(9;4;4)	(4;5;7)	(7;9;6)
	(6;6;2)	(5;4;7)	(2;4;7)	(7;3;0)
	(0;3;2)	(-1;3;6)	(-2;4;2)	(0;5;4)
	(-1;2;0)	(-2;2;4)	(-3;3;0)	(-1;4;2)
	(2;2;3)	(1;2;7)	(0;3;3)	(2;4;5)
	(0;-1;2)	(-1;-1;6)	(-2;0;2)	(0;1;4)
	(3;0;2)	(2;0;6)	(1;1;2)	(3;2;4)
	(0;2;-1)	(-1;2;3)	(-2;3;-1)	(0;4;1)
	(2;3;2)	(1;3;6)	(0;4;2)	(2;5;4)
	(-1;0;2)	(-2;0;6)	(-3;1;2)	(-1;2;4)
	(2;0;3)	(1;0;7)	(0;1;3)	(2;2;5)
	(2;-1;2)	(1;-1;6)	(0;0;2)	(2;1;4)
	(2;0;8)	(-10;3;0)	(-3;5;1)	(-1;-7;9)
	(1;4;0)	(-5;1;-2)	(-3;1;-3)	(2;-7;9)
	(3;7;9)	(-3;0;7)	(2;-3;-5)	(1;-2;0)
	(-1;3;5}	(5;-1;-3)	(-2;9;-2)	(8;0;1)
	(5;1;-7)	(2;-3;-1)	(-7;-1;1)	(3;4;-5)

 

ЗАДАНИЕ 6

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b:

 

	M	a	b
	(2;1;-5)	3X-2Y+Z+7=0	5X-4Y+3Z+1=0
	(1;-1;1)	X-Y+Z-1=0	2X+Y+Z+1=0
	(2;-1;1)	3X+2Y-Z+4=0	X+Y+Z-3=0
	(1;8;2)	5X+6Y+11Z-3=0	3X+Y+4Z-12=0
	(-1;-2;0)	4X+6Y-5Z-14=0	X+3Y-2Z-1 =0
	(5;1;2)	X-7Y-2Z-10=0	2X-2Y-Z-13=0
	(2;4;1)	X-2Y+5Z-7=0	2X-3Y+7Z-5=0
	(1;1;1)	X-2Y+2Z+8=0	3X+5Y+7Z-1=0
	(1;4;5)	X+Y+5Z+3=0	3X+2Y+8Z-9=0
	(3;0;7)	X+Y+4Z=0	3X+2Y+7Z-2=0

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂ перпендикулярно плоскости a:

 

	М1	М2	a
	(2;-1;4)	(3;2;1)	X+Y+Z-3=0
	(1;1;1)	(2;2;2)	X-Y-Z=0
	(0;-5;0)	(0;0;2)	X+5Y+2Z-10=0
	(2;0;-1)	(1;-1;3)	3X+2Y-Z+3=0
	(-1;-2;0)	(1;1;2)	X+2Y+2Z-4=0
	(1;-2;4)	(2;-3;5)	X+Y-3Z+8=0
	(0;1;3)	(1;2;7)	X+2Y+5Z+6=0
	(1;1;0)	(2;-1;-1)	5X+2Y+3Z-7=0
	(1;4;0)	(2;14;3)	X+6Y+Z-3=0
	(9;1;1)	(19;2;2)	17X+2Y+Z+11=0
	(7;1;0)	(26;2;3)	9X+Y+Z-17=0
	(0;1;2)	(-1;2;3)	X+Y-Z+2=0
	(3;4;6)	(5;1;5)	X+2Y+3Z-6=0
	(4;1;0)	(2;-1;1)	X-Y+Z-3=0
	(1;0;1)	(-1;1;0)	X+2Y-Z-1=0

 

 

ЗАДАНИЕ 7

Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей a и b:

 

	a	b
	x-2у+2z-8=0	x+2z-6=0
	3x-5y+z-8=0	2x+y-z+2=0
	x-2y+3z-4=0	3x+2y-5z-4=0
	x+z-6=0	x+6y-4=0
	x+2y-4=0	x-2y+2z-8=0
	x+2Z-6=0	x+y+z-6=0
	x+2y+3z-13=0	3x+y+4z-14=0
	x+2y+3z-1=0	2x-3y+2z-9=0
	2x+7y-z-8=0	Х+2y+z-4=0

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:

	А	ℓ
	(3;1;-1)	X+5y+2=0 3х+4y+2z-8=0
	(2;0;-3)
	(-4;3;0)	x-2y+z-4=0 2x+y-z=0
	(2;-5;9)	2x-3y-3z-9=0 x-2y+3=0

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ₁ и ℓ₂:

 

	А	ℓ1	ℓ2
	(2;-3;4)
	(0;1;1)
	(2;-3;4)	x=t;y=t;z=2t+5	x=3t+8;y=2t-4;z=t+2
	(0;1;-1)	x=3t+1;y=15t;z=7t-2	x=t;y=2t-5;z=6
	(0;-1;1)	x=2t;y=t-5;z=3t-2	x=4t-1;y=4t+6;z=t-4

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а₁ и а₂ :

 

	а1	а2
	(1;-2;1)	(3;1;1)
	(1;-2;1)	(0;6;5)
	(3;1;2)	(0;2;5)
	(0;1;2)	(5;2;1)
	(1;7;3)	(0;2;1)
	(1;0;2)	(5;1;4)
	(3;5;1)	(2;3;1)

 

ЗАДАНИЕ 8

Найти проекцию точки А на плоскости a:

	А	a
	(1;3;1)	x+2y+2z-30=0
	(3;1;-1)	3x+y+z-20=0
	(5;2;-1)	2x-y+3z+23=0
	(4;-3;1)	x-2y-z-15=0
	(1;-1;0)	5x-6y+2z-76=0

 

Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:

 

	А	а
	(0;0;0;)	х-2у+4z-21=0
	(1;5;2)	2х-у-z+11=0
	(1;-3;-4)	Зх-у-2z=0
	(5;2;-1)	2х-у+3z+23=0
	(3;-4;-6)	9х-7у-31z-108=0

Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ:

 

	А	ℓ
	(2;1;0)
	(4;3;10)
	(1;-1;2)
	(3;2;0)
	(2;-1;5)
	(0;0;0;)

 

Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости а с прямыми ℓ₁ и ℓ₂:

 

	А	ℓ1	ℓ2
	2x+y-3z=0
	3x-2y+z=0
	6x+3y-41=0
	3x-y-2z+5=0
	2x+3y+z-1=0

 

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости a и проходящей через точку пересечения плоскости a с прямой ℓ, перпендикулярно вектору ` а:

	a	ℓ	_` а
	6x+3y-z-41=0		{1;2;1}
	x+2y=0		{3;-1;2}
	x+2y=0		{5;-1;2}
	3x-y-2z+5=0		{0;3;5}

 

ЗАДАНИЕ 9

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ₁ и ℓ₂:

 

	ℓ1	ℓ2
	x=2t+1;y=-t;z=t+1

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ₁, параллельно прямой ℓ₂ :

 

	ℓ1	ℓ2
	x=3t-1;y=-2t-3;z=-t+2	x=2t+2;y=3t-1;z=-5t+1

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямым ℓ₁ и ℓ₂:

 

	ℓ1	ℓ2	М
			(-2;0;0)
			(6;1;1)
			(1;2;1)
			(1;2;3)
			(0;0;2)

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ₁ и ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2
	x=z-2;y=2z+1
		x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
	x=t+1;y=-2;z=-t+1	x=2t;y=2t-2;z=-3t+2
		x=3t+7;y=2t+2;z=-2t+1
	x=2t-3;y=3t-2;z=-4t+6	x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
	x=2t+1;y=3t-2;z=-6t+1

 

 

ЗАДАНИЕ 10

 

Установить вид поверхности и построить её эскиз:

 

	а)	б)
	x2 + y2 =z2	y=6 z2
		x= 2z2
	z= x2 + y2
	x2 +y2+z2-6x+8y+10z+25=0	z=1- x2 - y2
		z+(x2 + y2)=0
		4x2 -12y2-6z=12
	2x2 -5y2-8=0	4x2 -8y2+16z2=0
	3x2 +5y2 =12z
	x2 + 4y2 -8=0
	z2 -4x=0	2x2 -y2-z2=0
	8x- y2-2z2 =0	y2 =6x-4
	4z= x2 -y2	x2 +y2 = 2(z-1)2
	8x2 -4y2+24z2-48=0	x2 + y2=2z
	2y2+z2=1-x	2x2 +3z2=12y
	3x2 -y2-z2=3
	z2 +4z-2x+6=0	3x2 -y2-z2=3
		2x2 -4y2+8z2=0
	x=9y2	x2 -2y2+z2=1
	z2 +2z-4x+1=0	2x2 +8y2-16=0
	2x2 +z2=1-y	y2=-6z
		x2 -2z2+4y2=0
		x2+2y2=4z
	4x2-y2-2z2=0

в)x²+y²+z²+2 а ₁x+2 b ₁y+2 с ₁z+ g ₁=0

 

Список литературы

1 Бортаковский А. С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: учеб.пособие для втузов/А.С.Бортаковский, В.Пантелеев. -М:Высш.шк.,2005.-496с.

2 Бортаковский А. С. Линейная алгебра в примерах и задачах: учеб пособие для втузов/А.С.Бортаковский, А.В.Пантелеев.-М.:Высш.шк., 2005.-591с.

3 Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.-М.:Астрель, ACT,2002.-992с.

4 Высшая математика для экономистов: учеб.для вузов/под ред.Н. Ш. Кремера.-2-е изд.,перераб.и доп.-М.:ЮНИТИ,2002.-471с.

5 Канатников А.Н. Аналитическая геометрия: учеб.для втузов/А.Н. Канатников, А.П.Крищенко; под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко.-4-е изд.,испр.-М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,2005.-392с.

6 Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике Изд.-М.:Айрис-пресс, 2004. Ч.1.-288с.

7 Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник.-32-е изд.-СПб:Лань,2003.-304с.

 

Содержание

 

 

1 Прямая на плоскости 1

2 Плоскость 5

3 Прямая в пространстве 6

4 Кривые второго порядка 9

5 Построение кривой в полярной системе координат 9

6 Поверхности II порядка. Канонические уравнения 12

7 Варианты заданий 14
Список литературы 30

 

Рекомендовано к использованию в учебном процессе решением заседания УМК от 20.06.07 протокол №47

 

 

Редактор Л.А.Матвеева

 

Подписано в печать 28,09,07 Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16.

Гарнитура “Таймс”. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 2,1. Уч.-изд.л. 1,8.

Тираж 100 экз. Заказ №

Издательство Уфимского государственного нефтяного технического университета

 

Адрес издательства:

450062, РБ, г.Уфа, ул.Космонавтов, 1.