2
:
, .
. f(x) = 0 , .
f(x) (a, b). .
,
a - f(x) (x0, f(x0)).
, - .
:
: .
, .
.
f(x) = u, g(x) = v - , .
1) (u v)¢ = u¢ v¢
2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v
3) , v ¹ 0
.
1)¢ = 0; | 9) |
2)(xm)¢ = mxm-1; | 10) |
3) | 11) |
4) | 12) |
5) | 13) |
6) | 14) |
7) | 15) |
8) | 16) |
.
. y = f(x); u = g(x), u f.
, .
, x = j(t) t = ().
= y(t) y = y[()].
.. () ,
:
, , .
, .
y=y(x), ,
F(x,y)=0.
, ( ) .
.
.
:
( ). f(x) g(x) , , g¢(x) f(a) = g(a) = 0, , ( ) .
.
.
. 1) f(x) [a, b] , , .. f¢(x) ³ 0.
2) f(x) [a, b] (, b), f¢(x) > 0 a < x < b, [a, b].
|
|
, f(x) [a, b], f¢(x)£0 . f¢(x)<0 (a, b), f(x) [a, b].
, , f(x) [a, b] (a, b).
.
. f(x) 1 , , 1. f(x) 2 , f(x2 +Dx) > f(x2) D (D ).
, , , . .
. .
. ( ) f(x) = 1 1 , .
. . , , . = 3, = 0 , , .
. , .
. ( )
f(x) (a, b), 1, (, , 1).
1 f¢(x) + -, = 1 f(x) , - +- .
:
1) .
2) .
3) .
4) .
.
= 1 f¢(x1) = 0 f¢¢(x1) 1.
. f¢(x1) = 0, f(x) = 1 , f¢¢(x1)<0 , f¢¢(x1)>0.
.
.
. (, b), . , , , , .
1. (a, b) f(x) , y = f(x) ().
. , , .
|
|
, .
2. y = f(x). f¢¢(a) = 0 f¢¢(a) = f¢¢(x) , = .
.
, .
. , .
, . . .
, , , , , . = .
.
.
, , = y = f(x).
, = 5 .
.
, y = f(x) y = kx + b.
, . j. Q N.
MQ = y , NQ = - N .
: , ÐNMP = j, .
j - 900,
.
, y = kx + b . k b.
:
.. ¥, , .. b = const, .
, ,
.
.. , , ,
, k =0.
. :
1) .
.
2) ,
3)
4)
5)
6) ,
7) ,
1
.
1. ) | ) |
2. ) | ) |
3. ) | ) |
4. ) | ) |
5. ) | ) |
6. ) | ) |
7. ) | ) |
8. ) | ) |
9. ) | ) |
10. ) | ) |
11. ) | ) |
12. ) | ) |
13. ) | ) |
14. ) | ) |
15. ) | ) |
16. ) | ) |
17. ) | ) |
18. ) | ) |
19. ) | ) |
20. ) | ) |
21. ) | ) |
22. ) | ) |
23. ) | ) |
24. ) | ) |
25. ) | ) |
26. ) | ) |
27. ) | ) |
28. ) | ) |
29. ) | ) |
30. ) | ) |
2
.
1. ) | ) |
2. ) | ) |
3. ) | ) |
4. ) | ) |
5. ) | ) |
6. ) | ) |
7. ) | ) |
8. ) | ) |
9. ) | ) |
10. ) | ) |
11. ) | ) |
12. ) | ) |
13. ) | ) |
14. ) | ) |
15. ) | ) |
16. ) | ) |
17. ) | ) |
18. ) | ) |
19. ) | ) |
20. ) | ) |
21. ) | ) |
22. ) | ) |
23. ) | ) |
24. ) | ) |
25. ) | ) |
26. ) | ) |
27. ) | ) |
28. ) | ) |
29. ) | ) |
30. ) | ) |
|
|
3
, .
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
4
, .
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
5
, .
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
6
.
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
7
.
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
8
.
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
1.
.
) )
: )
)
: )
)
2.
.
) )
: ) u=sinx f(u)=u2. , :
) u=arctg3x f(u)=ln(u). , :
: )
)
3.
, .
: () .
:
4.
, .
: , , :
:
5.
, .
: , . , .
f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;
:
;
:
6.
.
: ,
: .
:
:
7.
|
|
.
: :
:
:
:
8.
.
: ) . , (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).
(-¥; ¥).
) f(x)= -f(x) - , .
) (0;0)
) :
f(x)>0
>0. , f(x)>0 >1 f(x)<0 0<<1.
) = 1, = -1 . .
, y = x.
) = 1, = -1.
.
: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.
. .
-¥ < x < - , y¢ > 0,
- < x < -1, y¢ < 0,
-1 < x < 0, y¢ < 0,
0 < x < 1, y¢ < 0,
1 < x < , y¢ < 0,
< x < ¥, y¢¢ > 0,
, = - , = . -3 /2 3 /2.
)
.
.
-¥ < x < - , y¢¢ < 0,
- < x < -1, y¢¢ < 0,
-1 < x < 0, y¢¢ > 0,
0 < x < 1, y¢¢ < 0,
1 < x < , y¢¢ > 0,
< x < ¥, y¢¢ > 0,
: