Типовой расчет №2
По теме: «Дифференциальное исчисление»
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда 
тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
,
где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой: 
Уравнение нормали к кривой: 
.
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢
2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v
3) 
, если v ¹ 0
Производные основных элементарных функций.
| 1)С¢ = 0; | 9) 
|
| 2)(xm)¢ = mxm-1; | 10) 
|
3) 
| 11) 
|
4) 
| 12) 
|
5) 
| 13) 
|
6) 
| 14) 
|
7) 
| 15) 
|
8) 
| 16) 
|
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.
Тогда 
Производная функции, заданной параметрически.
Пусть 
Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).
Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].
т.к. Ф(х) – обратная функция, то 
Окончательно получаем: 
Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.
Производная функции, заданной неявно.
Пусть функция y=y(x), обладающая производной в точке х, хадана неявно уравнением
F(x,y)=0.
Тогда производную 
этой функции можно найти, продифференцировав исходное уравнение (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно 
.
Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя.
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Исследование функций с помощью производной.
Возрастание и убывание функций.
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].
Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).
Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.
Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1) Найти критические точки функции.
2) Найти значения функции в критических точках.
3) Найти значения функции на концах отрезка.
4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
Исследование функции на экстремум с помощью
производных высших порядков.
Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.
Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум, если f¢¢(x1)>0.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции 
. Ее наклонная асимптота у = х.
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если 
или 
или 
, то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
Например, для функции 
прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = 
- ордината точки N на асимптоте.
По условию: 
, ÐNMP = j, 
.
Угол j - постоянный и не равный 900, тогда
Тогда 
.
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
Т.к. х®¥, то 
, т.к. b = const, то 
.
Тогда 
, следовательно,
.
Т.к. 
, то 
, следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Четность, нечетность и периодичность
3) Точки пересечения графика с осями координат
4) Интервалы знакопостоянства функции
5) Асимптоты функции
6) Интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции
7) Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ЗАДАНИЕ № 1
Найти производную функции.
1. а) 
| б) 
|
2. а) 
| б) 
|
3. а) 
| б) 
|
4. а) 
| б) 
|
5. а) 
| б) 
|
6. а) 
| б) 
|
7. а) 
| б) 
|
8. а) 
| б) 
|
9. а) 
| б) 
|
10. а) 
| б) 
|
11. а) 
| б) 
|
12. а) 
| б) 
|
13. а) 
| б) 
|
14. а) 
| б) 
|
15. а) 
| б) 
|
16. а) 
| б) 
|
17. а) 
| б) 
|
18. а) 
| б) 
|
19. а) 
| б) 
|
20. а) 
| б) 
|
21. а) 
| б) 
|
22. а) 
| б) 
|
23. а) 
| б) 
|
24. а) 
| б) 
|
25. а) 
| б) 
|
26. а) 
| б) 
|
27. а) 
| б) 
|
28. а) 
| б) 
|
29. а) 
| б) 
|
30. а) 
| б) 
|
ЗАДАНИЕ № 2
Найти производную сложной функции.
1. а) 
| б) 
|
2. а) 
| б) 
|
3. а) 
| б) 
|
4. а) 
| б) 
|
5. а) 
| б) 
|
6. а) 
| б) 
|
7. а) 
| б) 
|
8. а) 
| б) 
|
9. а) 
| б) 
|
10. а) 
| б) 
|
11. а) 
| б) 
|
12. а) 
| б) 
|
13. а) 
| б) 
|
14. а) 
| б) 
|
15. а) 
| б) 
|
16. а) 
| б) 
|
17. а) 
| б) 
|
18. а) 
| б) 
|
19. а) 
| б) 
|
20. а) 
| б) 
|
21. а) 
| б) 
|
22. а) 
| б) 
|
23. а) 
| б) 
|
24. а) 
| б) 
|
25. а) 
| б) 
|
26. а) 
| б) 
|
27. а) 
| б) 
|
28. а) 
| б) 
|
29. а) 
| б) 
|
30. а) 
| б) 
|
ЗАДАНИЕ № 3
Найти производную функции, заданной параметрически.
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
|
27. 
| 28. 
|
29. 
| 30. 
|
ЗАДАНИЕ № 4
Найти производную функции, заданной неявно.
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
|
27. 
| 28. 
|
29. 
| 30. 
|
ЗАДАНИЕ № 5
Найти пределы, используя правило Лопиталя.
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
|
27. 
| 28. 
|
29. 
| 30. 
|
ЗАДАНИЕ № 6
Найти уравнение касательной к функции в заданной точке М.
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
|
27. 
| 28. 
|
29. 
| 30. 
|
ЗАДАНИЕ № 7
Найти производную функции указанного порядка.
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
|
27. 
| 28. 
|
29. 
| 30. 
|
ЗАДАНИЕ № 8
Построить график функции.
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
23. 
| 24. 
|
25. 
| 26. 
|
27. 
| 28. 
|
29. 
| 30. 
|
Пример решения задачи №1.
Найти производную функции.
а) 
б) 
Решение: а) В соответствии с правилом нахождения производной произведения получаем
б) В соответствии с правилом нахождения производной частного получаем
Ответ: а) 
б) 
Пример решения задачи №2.
Найти производную функции.
а) 
б) 
Решение: а) Данная функция является композицией двух имеющих производные функции u=sinx и f(u)=u2. Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:
б) Аналогично здесь u=arctg3x и f(u)=ln(u). Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:
Ответ: а) 
б) 
Пример решения задачи №3.
Найти производную функции, заданной параметрически.
Решение: Производная функции у(х) находится по формуле 
.
Ответ: 
Пример решения задачи №4.
Найти производную функции, заданной неявно.
Решение: Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у – функция от х, получим:
Ответ: 
Пример решения задачи №5.
Найти производную функции, используя правило Лопиталя.
Решение: Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида 
. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f¢(x) = 2x + 
; g¢(x) = ex;
Тогда получим:
;
Ответ: 
Пример решения задачи №6.
Найти уравнение касательной к функции в заданной точке М.
Решение: Найдем производную, как производную неявной функции
Найдем 
: 
.
Отсюда получаем уравнение касательной:
Ответ: 
Пример решения задачи №7.
Найти производную указанного порядка.
Решение: Находим первую производную:
Находим вторую производную:
Находим третью производную:
Ответ: 
Пример решения задачи №8.
Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение: а) находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).
Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).
б) f(x)= -f(x) - следовательно, функция нечетная.
в) функция пересекается с осями координат только в одной точке (0;0)
г) Находим интервалы знакопостоянства функции:
f(x)>0
Так функция нечетная то рассмотрим только в случае х>0. Получаем, что f(x)>0 при х>1 и f(x)<0 при 0<х<1.
д) Прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
е) Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = - 
; x = ; x = -1; x = 1.
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает
- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает
-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y¢ < 0, функция убывает
< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2.
ж) Найдем вторую производную функции
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая
- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая
< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
Построим график функции:
