Вывод уравнения Михаэлиса-Ментен.

Полный математический анализ ферментативной реакции приводит к сложным уравнениям, не пригодным для практического применения. Наиболее удобной оказалась простая модель, разработанная в 1913 г Михаэлисом и его сотрудницей Ментен. Она объясняет характерную гиперболическую зависимость скорости реакции при постоянной концентрации фермента от концентрации субстрата и позволяет получать константы, которые количественно характеризуют эффективность фермента.

Модель Михаэлиса-Ментен исходит из того, что вначале субстрат (S) обратимо образует с ферментом (E) комплекс (ЕS), который,быстро превращается в продукт Р, что можно выразить следующей схемой:

Математическая обработка этой системы уравнений с использованием закона действующих масс и уравнения материального баланса позволяет вывести уравнение, названное в честь авторов уравнением Михаэлиса–Ментен, выражающее количественное соотношение между концентрацией субстрата и скоростью ферментативной реакции:

Вывод уравнения Михаэлиса-Ментен:

Скорость прямой реакции образования ES - V_пр = K₊₁[E][S] 1

Скорость обратной реакции - V_обр = К_-1[ES] 2

В стационарном состоянии, т.е. когда концентрация ES постоянна скорость прямого процесса равна скорости обратного - V_пр = V_обр или K₊₁[E][S] = К_-1[ES]

Отсюда имеем: [E][S]/[ES] = K_-1/K₊₁ = К_s 3

[E][S]/[ES] = K_-1/K₊₁ = К_s – константа диссоциации фермент-субстратного комплекса

Из уравнения материального баланса имеем: аналитическая концентрация фермента ([E_общее]) равна сумме концентраций свободного фермента ([E]) и фермент-субстратного комплекса ([ES]): - [E_общее] = [E] + [ES] 4

Скорость образования продукта реакции Р равна - V_{обр продукта} = К₊₂ [ES] 5

Из уравнения (3) имеем: [ES] = [E][S]/K_s, а из уравнения (4) - [E] = [E_общ ] – [ES], после

подстановки этого значения в предыдущее уравнение получаем:

[ES] = ([E_общ ] – [ES])∙[S]/K_s 6

После преобразования уравнения (6) относительно [ES] имеем:

[ES] = [E_общ][S]/(K_s + [S]) 7

Подставляя уравнение (7) в уравнение (5) получаем:

V_{обр продукта} = K₊₂ [E_общ][S]/K_s + [S] 8

Очевидно, что скорость реакции образования продукта будет максимальной при данных условиях когда [ES] = [E_общ ], т.е. - K₊₂ [E_общ] = V_max

Вводя это значение в уравнение (8) получаем уравнение в виде:

которое называется уравнением Михаэлиса-Ментен, где:

· v – наблюдаемая скорость реакции при данной концентрации субстрата [S];

· K_S– константа диссоциации фермент-субстратного комплекса, моль/л;

· V_max– максимальная скорость реакции при полном насыщении фермента субстратом.

K_S и V_max – это константы, которые не зависят от концентрации субстрата, а характеризуют свойства фермента.

Теоретический график зависимости скорости ферментативной реакции (V) от концентрации субстрата [S] при постоянной концентрации фермента представляет собой график гиперболы.

Из уравнения Михаэлиса–Ментен следует, что при высокой концентрации субстрата и низком значении K_S скорость реакции является максимальной, (реакция нулевого порядка – участок (в) на графике). При низкой концентрации субстрата, напротив, скорость реакции оказывается пропорциональной концентрации субстрата в каждый данный момент (реакция первого порядка v = V_max∙[S] – участок (а) на графике). При средних значениях концентрации субстрата скорость реакции имеет смешанный порядок (участок (Б) на графике) и описывается уравнением Михаэлиса-Ментен.

Следует отметить, что уравнение Михаэлиса–Ментен в его классическом виде было выведено с использованием ряда допущений и, в частности, что образование продукта реакции идет быстро и необратимо. В реальной ферментативной кинетике как раз, как правило, образование продукта реакции процесс обратимый, т.е. более реальная схема ферментативного процесса должна учитывать как минимум 4 константы:

 

 

Поэтому были предприняты попытки усовершенствовать уравнение Михаэлиса-Ментен. В том же 1913 году несколько позднее была опубликована работа Бриггса и Холдейна, в которой было предложено уравнение, выведенное в результате анализа рассматриваемой схемы. Однако это уравнение Бриггса-Холдейна:

 

 

по сути мало отличается от уравнения Михаэлиса-Ментен. Отличие заключается в том, что вместо константы диссоциации фермент-субстратного комплекса К_s = K_-1/K₊₁ в уравнении используется более сложная константа названная позднее константой Михаэлиса К_m. Константа Михаэлиса (К_m) может быть представлена следующим уравнением:

Ферментативная активность. Каталитическая константа - число оборотов фермента. Максимальная скорость ферментативной реакции (Vmax). Константа диссоциации фермент-субстратного комплекса (Ks). Константа Михаэлиса-Ментен (Km).

 

Особенностью ферментативной кинетики является также то, что экспериментально измеряется не скорость ферментативной реакции, а активность фермента (ферментативная активность). Ранее в лекции №2 уже давалось определение ферментативной активности

Поскольку ферментативная активность не зависит от объема раствора, в котором протекает реакция (она пропорциональна концентрации фермента) ее выражают в специальных единицах: Если размерность скорости реакции – моль/ л·с, то размерность ферментативной активности моль субстрата, превращаемого в единицу времени. Используются следующие единицы активности ферментов:

• Катал. 1 кат = количеству фермента, которое превращает 1 моль субстрата за 1 сек.
• Нкат – нонакатал; 1нкат = 10⁹кат
• Международная единица ферментативой активности (Е) – количество фермента, превращающего 1 мкмоль субстрата в 1 мин.

1Е = 16,7 нкат.

Удельная активность выражается либо 1) количеством единиц (Е или кат, нкат) на 1 мг белка, либо 2) числом молей продукта образовавшегося за 1 минуту на 1 мг белка. Суммарная ферментативная активность определяется как произведение удельной активности на общее количество фермента.

Рассмотрим физический смысл констант уравнения Михаэлиса-Ментен: каталитической константы (К₂), максимальной скорости ферментативной реакции (V_max), константы диссоциации фермент-субстратного комплекса (K_s) и константы Михаэлиса-Ментен (K_m).

1. Константа скорости k₂ намного выше, чем константа той же, но некаталитической реакции. Константу k₂называют каталитической константой скорости ферментативной реакции Ее физический смысл заключается в том, что она соответствует числу молекул субстрата, превращаемых в продукт одной молекулой фермента за 1 сек. В связи с этим каталитическая константа еще называется «числом оборотов фермента».

Число оборотов фермента позволяет характеризовать активность ферментов, молекулярная масса которых известна. Чем больше число оборотов фермента, тем он более активен. В настоящее время около 2000 ферментов выделено в чистом виде и молекулярная масса определена у около 150 ферментов. Самым активным ферментом оказалась карбоангидраза, которая катализирует реакцию гидратации углекислого газа. Для нее число оборотов составляет 600.000 сек^-1. Амилаза, которая катализирует гидролиз крахмала, имеет число оборотов 18.300 сек^-1, число оборотов большей части ферментов определяется трех- или четырехзначным числом. Это свидетельствует о высокой активности ферментов. Если фермент не получен в чистом виде, то его активность определяется количеством молей преобразованного субстрата в одну минуту в расчете на 1 мг белка. Эта величина называется удельной активностью фермента. Очевидно, что чем чище ферментный препарат, тем выше окажется его удельная активность.

2. Максимальная скорость реакции (V_max) как видно из уравнения равна k₊₂[E_общ]. Очевидно, что эта величина является константой для данной реакции, проводимой с данной концентрацией фермента, т.е. эта величина также характеризует активность фермента. Если молекулярная масса фермента известна, то экспериментальное значение максимальной скорости реакции при данной молярной концентрации фермента легко может быть пересчитано в число оборотов.

3. Константа диссоциации фермент-субстратного комплекса (K_s) характеризует устойчивость фермент-субстратного комплекса. Чем меньше значение константы тем стабильнее фермент-субстратный комплекс.

4. Константа Михаэлиса (К_m) характеризуетсродствофермента к субстрату. Высокое сродство фермента к субстрату характеризуется низкой величинойК_m и наоборот. Величина К_m всегда численно больше чем величинаK_s. Константа Михаэлиса численно равна той концентрации субстрата [S], при которой ν достигает половины максимальной величины V_max (действительно, если v = V_max/2, то [S] / (К_m + [S]) = 1/2, отсюда К_m = [S]).