Пересечение прямой с поверхностью также является фундаментальной позиционной задачей. Кроме того, она входит как составной элемент в решение более сложных позиционных задач, таких, как пересечение плоскости с поверхностью, пересечение поверхностей и построение теней.
Принцип, лежащий в основе решения задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью, сохраняется и в случае определения общих точек прямой и поверхности (рис. 229, 230, 231). Через прямую l проводится вспомогательная плоскость l, которая пересекает поверхность по вспомогательному сечению l *. Это сечение, пересекаясь с заданной прямой l, выделяет на ней искомые точки M и N.
Поскольку через прямую l можно провести бесконечно много плоскостей, выберем такие, с которыми удобно работать. Критерием такого удобства является:
1. Графически простое сечение поверхности вспомогательной плоскостью.
2. Проецирующее положение вспомогательной плоскости.
Решение задачи рекомендуется проводить по следующему алгоритму:
1) определить, какие сечения поверхности представляют собой графически простые линии;
2) через заданную прямую и один из центров проецирования провести секущую плоскость l так, так чтобы она пересекала поверхность по графически простой линии l * (если это возможно);
3) осуществить построение точек пересечения прямой l с полученным сечением l *.
На рис. 229 приведен пример построения точек пересечения прямой l с пирамидой TABC. Прямая l занимает общее положение. Вспомогательная секущая плоскость l содержит прямую l и проходит через центр проецирования S1. Сечение l * представляет собой многоугольник. Если вспомогательная секущая плоскость пройдет через центр S2, то решение задачи принципиально не изменится. Изменится только форма многоугольника, полученного от сечения плоскостью l.
Рис. 229. Определение точки пересечения прямой с поверхностью на плоской модели (перспектива)
Проецирующее положение прямой l дано в примере на рис. 230, где l содержит центр S1 и пересекает конус. Из бесконечного множества плоскостей выберем ту, которая даст самое простое коническое сечение – прямую AT. Это плоскость l, проходящая через вершину Т, которая пересечет еще и основание конуса по прямой AB. Эти две прямые входят в часть сечения l *, позволяющего выявить точки, общие как для конуса так и для прямой l.
Рис. 230. Определение точки пересечения проецирующей прямой с поверхностью на плоской модели (эпюр Монжа,)
Если поверхность занимает проецирующее положение, плоскость l можно не проводить. Общие точки видны сразу на той картине, на которой поверхность вырождается в линию. В примере на рис. 231 проецирующее положение занимает цилиндр. Его вершина тождественно совпадает с центром проецирования S1, и первая проекция вырождается в линию. Её достаточно пересечь с l1, чтобы получить точки M и N, в которых прямая l пересекает цилиндр. Хотя в этом случае секущая плоскость l все-таки существует. Она проходит через центр S1 и прямую l.
Сравнивая алгоритмы решения задачи на пересечение прямой с плоскостью и с поверхностью, мы видим, что они не имеют принципиального различия. Оно возникает только тогда, когда речь заходит о вспомогательном сечении. На поверхности это сложная линия, а на плоскости – прямая.
Рис. 231. Определение точки пересечения прямой общего положения с проецирующей поверхностью на плоской модели (аксонометрия)
Пересечение плоскостей
Другой часто встречающейся позиционной задачей является построение линии пресечения плоскостей. На рис. 232 приведены примеры решения этой задачи в перспективе, аксонометрии и на эпюре Монжа. Даны две плоскости a = A È В È С и b = m Ç n. В случае на рис. 232,а обе плоскости занимают общее положение. В этом случае линия пересечения l определяется по двум точкам M и N, в которых прямые m и n, принадлежащие плоскости b, пересекают плоскость a. Очевидно, что для определения этих точек необходимо два раза решить задачу на пересечение прямой с плоскостью.
Если одна из плоскостей занимает проецирующее положение, то решение задачи несколько упрощается, так как одна из проекций l тождественно совпадает с вырожденной проекцией плоскости. В примере на рис. 232,б проецирующее положение занимает плоскость b. Она содержит центр проецирования S1 и ее вторая проекция представляет собой прямую линию, с которой тождественно совпадает вторая проекция линии пересечения.
В случае когда обе плоскости содержат один и тот же центр проецирования, то через тот же центр пройдет и линия пересечения. На рис. 232,в плоскости a и b обе содержат центр S.1, через него пройдет и линия пересечения плоскостей.
Рис.232. Пересечение плоскостей
