IV. Теория и примеры выполнения заданий.

 

 

Числа и их графическое изображение.

 

Всё многообразие величин, с которыми мы имеем дело, так или иначе измеряются, то есть сопоставляются с подобной величиной, которая принимается за единицу измерения. В результате такого сопоставления мы получаем число, выражающее отношение рассматриваемой величины к величине, принятой за единицу.

Числа бывают целыми, рациональными, иррациональными. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел.

Комплексными числами называются выражения вида z = a + ib (a и b – действительные числа, i – символ мнимой единицы).

Операции сложения, умножения и деления двух комплексных чисел z₁ = a₁ + ib₁ и z₂ = a₂ + ib₂ определяются следующими формулами:

 

z₁+ z₂=(a₁+ a₂)+ i(b₁+ b₂) (1)

z₁ · z₂=(a₁a₂- b₁b_2-)+ i(a₁ b₂ + a₂b_1-) (2)

(3)

 

Комплексные числа можно изображать геометрически, если каждому комплексному числу z = a + ib сопоставить точку М (a, b) на координатной плоскости. Абсцисса точки равна действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой части. Ось абсцисс называется действительной осью Rеz, а ось ординат называется мнимой осью Imz.

 

Пример.

Выполните операции z₁+ z₂ , z₁ · z₂ и с заданными комплексными числами z₁=2+3i, z₂= -4+5i.

Изобразите графически эти числа.

z₁+ z₂=(2 - 4)+ i(3+5)= -2+8 i

z₁ · z₂= (-2·4-3·5)+ i(2·5 - 3·4)= -23 - 2 i.

=

 

Операции сложения, умножения и деления комплексных чисел z₁=2+3i и z₂= -4+5i выполнены согласно правилам 1-3.

Ответ: z₁+ z₂= -2+8i, z₁ · z₂= -23-2i, = .

 

Согласно правилу изображения комплексных чисел, приведенному выше, рисуем плоскость, на которой изображаем заданные комплексные числа.

 

 

Imz

z₂

 

z₁

 

Rez

 

Рис.1

Графическое изображение комплексных чисел.

 

 

Исчисление процентов.

 

Сотая доля числа называется процентом, обычно обозначается буквой р и символом %. Из определения следует, что при нахождении р процентов от числа а необходимо выполнить операции, указанные в формуле

. (4)

Если мы говорим о повышении цены товара S на р %, то новая цена товара S' определяется выражением

. (5)

Если мы говорим о том, что имеется р килограмм q % раствора, то это означает, что растворенного вещества в растворе

.

При размещении вклада в банке на условиях начисления р % годовых на вложенную сумму S наш капитал через год станет равным

S₁=S+S . (6)

Если начисления каждый последующий год делают на первоначально вложенную сумму, то говорят о простых процентах и через n лет наш капитал будет равен

. (7)

Если начисления каждый следующий год делают на сумму предыдущего года, то говорят о сложных процентах. Наш капитал в этом случае через n лет будет равен

. (8)

Рассмотрим задачу о возврате кредита. Предположим, что в банке взят кредит размером S на n лет. По условиям кредита, ежегодно необходимо выплачивать одну и ту же сумму R, такую, что через n лет кредит должен быть погашен. Необходимо рассчитать величину выплат R, при условии, что за пользование кредита начисляются р% годовых.

Определим, какую часть S₁ первоначального долга S мы погасим, выплатив через год сумму R. Ясно, что имеет место соотношение

. (9)

Действительно, мы пользовались суммой S₁ один год. С учетом начислений и условия выплат должна выполняться формула (9). Аналогично, во второй год мы погасим сумму S₂. В этом случае имеем соотношение

.

Из последней формулы видно, что начисляются сложные проценты. По условию, через n лет мы должны погасить долг. В этом случае должно выполняться соотношение

S₁+S₂+…+S_n = S. (10)

 

Пусть, по определению . Тогда, из (10) следует

RV+RV² + RVⁿ = S.

Суммируя геометрическую прогрессию в последней формуле, окончательно получаем

. (11)

В задаче об определении числа лет, через которые первоначальный капитал, помещенный в банк, станет равным , мы должны вычислить число n, определяемое формулой (8)

.

Логарифмируя эту формулу, получаем

,

Откуда

.

Далее необходимо воспользоваться либо таблицами, либо калькулятором, вычислить численные значения логарифмов и написать ответ.

 

Векторы.

 

Вектором называется направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Вектор можно перемещать параллельно самому себе. Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами , так и строчной буквой . В декартовых координатах вектор задается следующим образом

. (12)

Здесь – единичные векторы, направленные вдоль осей х, y, z соответственно. Числа a_x, a_y, a_z называются проекциями вектора на соответствующие оси.

Модулем вектора называется его длина. Эта величина может быть вычислена через проекции вектора на оси координат (см.12) по следующей формуле:

. (13)

Здесь принято обозначение для длины вектора .

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое ( ), равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

. (14)

Определение угла между векторами ясно из рисунка 2.

 

Рис.2

Определение угла между двумя векторами

 

Для векторов, заданных в декартовых координатах, из определения скалярного произведения следует

. (15)

 

Из (14) следует формула для вычисления угла между двумя векторами

. (16)

 

Операция сложения и вычитания векторов определяется простыми формулами

. (17)

 

Основы матричной алгебры.

 

Матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными буквами А, В, … Для обозначения чисел, составляющих матрицу, применяют строчные буквы a_ij, b_ij,… Индекс i обозначает номер строки, а индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент матрицы.

Матрицы А и В можно перемножить А·В, если выполнено следующее соотношение для размерностей матрицы: размерность матрицы А - m´k и размерность матрицы В - k´n. Иными словами число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В результате умножения получается матрица С размерностью m´n.

Если имеет место равенство С= А·В, то элементы С_ij матрицы определяются формулой

. (18)

Матрица А^-1 степени называется обратной матрице А, если выполнены равенства

А^-1А=АА^-1=Е.

Здесь Е – единичная матрица, то есть матрица, у которой диагональные элементы единицы, а все остальные элементы нули.

Матрица называется транспонированной к матрице А, если она построена из матрицы А посредством замены строк на столбцы с сохранением их порядка.

Определителем квадратной матрицы размерности 2 – А= ,

называется число, построенное по правилу

. (20)

 

Определитель квадратной матрицы А= размерности 3 вычисляется по правилу

 

. (21)

 

Минором М_ij элемента a_ij квадратной матрицы А размерности n называется определитель матрицы размерности n-1, получаемой из исходной матрицы посредством вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij квадратной матрицы А размерности n называется число, определяемое формулой

. (22)

Определитель квадратной матрицы А размерности n может быть представлен в виде разложения по элементам i строки или j столбца по формулам

. (23)

 

Матрица А' называется присоединенной матрице А, если элементами матрицы А' являются алгебраические дополнения матрицы – транспонированной матрице А.

. (24)

 

Сформулируем правило, по которому вычисляется обратная матрица А^-1:

1. Находим определитель исходной матрицы |A|. Он должен быть не равен нулю. Матрицы, у которых |A|≠0 называются невырожденными.

2. Находим матрицу транспонированную данной.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы . Строим присоединенную матрицу А'.

4. Обратную матрицу вычисляем по формуле

. (25)

Система линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, …, х _n может быть записана в виде

. (26)

 

Решение системы линейных уравнений (26) находим по формулам Крамера:

. (27)

Здесь числа Δ_і, Δ являются определителями, построенными по правилу

 

.

 

i^й столбец

 

 

Примеры.

 

1).Найдите произведение матриц А·В, если

а) А= , В=

Согласно правила (18) имеем

 

С=АВ= .

 

б) А= В=

По формуле (18) получаем

С=АВ=

Ответ: С= .

 

2). Вычислите определитель матрицы А= .

Раскладывая определитель этой матрицы по элементам первой строки, согласно формуле (23) имеем

|A|= .

Ответ: |A|=21.

 

3). Найдите матрицу, обратную данной А= .

Вычисления проведем по правилам вычисления обратных матриц, сводящихся к формуле (25).

1.Находим определитель исходной матрицы

|A|= .

2.Находим матрицу

= .

3.Находим алгебраические дополнения матрицы и строим присоединенную матрицу А′

₁₁=-2, ₁₂=-2, ₁₃=0

₂₁=-2, ₂₂=0, ₂₃=-2

₃₁=0, ₃₂=-2, ₃₃=-2,

 

А^-1= .

Проверим вычисления, для этого вычислим

А^-1А= =Е.

Отсюда делаем вывод, что вычисления проведены верно.

Ответ А^-1 .

 

4). Решите систему уравнений

Для решения этой системы уравнений, согласно формулам Крамера (27), необходимо найти значения следующих определителей:

.

 

Вычисления этих определителей проводим по формулам (23), в результате получаем

Выпишем ответ: .

Легко видеть, что найденные решения удовлетворяют исходную систему уравнений, то есть вычисления проведены верно.

Ответ: х=-1, у=1, z=0.

 

Аналитическая геометрия на плоскости.

 

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

Ах+Ву+С=0. (28)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁ и М₂ с координатами (х₁,у₁) и (х₂,у₂) соответственно следующее

. (29)

 

Если известно, что прямая отсекает на осях х и у отрезки соответственно равные а и b, то такую прямую удобно задавать уравнением прямой в отрезках

. (30)

Если известно, что прямая проходит через заданную точку М₁(х₁, у₁), параллельно заданному вектору , то такая прямая определяется уравнением

. (31)

 

Прямая, проходящая через точку М₁(х₁,у₁) и перпендикулярная заданному вектору , определяется следующим уравнением

a(x-x₁)+b(y-y₁)=0. (32)

 

Если задана прямая своим общим уравнением Ах+Ву+С=0 и требуется определить расстояние d от заданной точки М(х_m,у_m) до заданной прямой, то соответствующее расстояние определяется формулой

. (33)

 

 

Функции одной переменной.

 

Самый наглядный способ подачи информации – графический, поэтому необходимо представлять и уметь изобразить графики элементарных функций. В настоящем разделе мы напомним графики наиболее часто встречающихся из них.

1. Линейная функция y=kx+b

y

 

 

k=tgα

x

 

 

Рис.3

График линейной функции

 

2. Парабола у = а(х-х₀)² + С.

Знак коэффициента а определяет направление ветвей параболы.

Рис.4

График параболы

 

3. Степенная функция у = х^a

 

Рис.5

График степенной функции

 

 

4. Показательная функция у = а^х

 

Рис.6

График показательной функции

 

 

5. Логарифмическая функция y = log_a x

Рис.7

График логарифмической функции

 

 

6. Тригонометрические функции

Рис.8

График функции y = sinx

 

 

Рис.9

График функции y = cosx

 

 

Рис.10

График функции y = tgx

Последовательности, пределы.

 

Для решения задач по данному разделу необходимо знать следующие утверждения:

I. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют

.

 

II. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

.

 

III. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от нуля

.

 

Некоторые задачи основаны на использовании замечательных пределов.

Первый замечательный предел

.

Второй замечательный предел

.

Здесь е – число, равное е ≈ 2,7182818….

 

Дифференциальное исчисление.

 

Для решения задач этого раздела требуются знания основных теорем о производных функций и таблицы производных основных функций.

 

Производная суммы и разности функций

Производная произведения функций

.

Производная частного двух функций

.

 

Производная сложной функции f(g(x))

.

 

Таблица производных основных элементарных функций