Числа и их графическое изображение.
Всё многообразие величин, с которыми мы имеем дело, так или иначе измеряются, то есть сопоставляются с подобной величиной, которая принимается за единицу измерения. В результате такого сопоставления мы получаем число, выражающее отношение рассматриваемой величины к величине, принятой за единицу.
Числа бывают целыми, рациональными, иррациональными. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел.
Комплексными числами называются выражения вида z = a + ib (a и b – действительные числа, i – символ мнимой единицы).
Операции сложения, умножения и деления двух комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 определяются следующими формулами:
z1+ z2=(a1+ a2)+ i(b1+ b2) (1)
z1 · z2=(a1a2- b1b2-)+ i(a1 b2 + a2b1-) (2)
(3)
Комплексные числа можно изображать геометрически, если каждому комплексному числу z = a + ib сопоставить точку М (a, b) на координатной плоскости. Абсцисса точки равна действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой части. Ось абсцисс называется действительной осью Rеz, а ось ординат называется мнимой осью Imz.
Пример.
Выполните операции z1+ z2 , z1 · z2 и 
с заданными комплексными числами z1=2+3i, z2= -4+5i.
Изобразите графически эти числа.
z1+ z2=(2 - 4)+ i(3+5)= -2+8 i
z1 · z2= (-2·4-3·5)+ i(2·5 - 3·4)= -23 - 2 i.
= 
Операции сложения, умножения и деления комплексных чисел z1=2+3i и z2= -4+5i выполнены согласно правилам 1-3.
Ответ: z1+ z2= -2+8i, z1 · z2= -23-2i, = 
.
Согласно правилу изображения комплексных чисел, приведенному выше, рисуем плоскость, на которой изображаем заданные комплексные числа.
Imz
z2
z1
 |
Rez
Рис.1
Графическое изображение комплексных чисел.
Исчисление процентов.
Сотая доля числа называется процентом, обычно обозначается буквой р и символом %. Из определения следует, что при нахождении р процентов от числа а необходимо выполнить операции, указанные в формуле
. (4)
Если мы говорим о повышении цены товара S на р %, то новая цена товара S' определяется выражением
. (5)
Если мы говорим о том, что имеется р килограмм q % раствора, то это означает, что растворенного вещества в растворе
.
При размещении вклада в банке на условиях начисления р % годовых на вложенную сумму S наш капитал через год станет равным
S1=S+S 
. (6)
Если начисления каждый последующий год делают на первоначально вложенную сумму, то говорят о простых процентах и через n лет наш капитал будет равен
. (7)
Если начисления каждый следующий год делают на сумму предыдущего года, то говорят о сложных процентах. Наш капитал в этом случае через n лет будет равен
. (8)
Рассмотрим задачу о возврате кредита. Предположим, что в банке взят кредит размером S на n лет. По условиям кредита, ежегодно необходимо выплачивать одну и ту же сумму R, такую, что через n лет кредит должен быть погашен. Необходимо рассчитать величину выплат R, при условии, что за пользование кредита начисляются р% годовых.
Определим, какую часть S1 первоначального долга S мы погасим, выплатив через год сумму R. Ясно, что имеет место соотношение
. (9)
Действительно, мы пользовались суммой S1 один год. С учетом начислений и условия выплат должна выполняться формула (9). Аналогично, во второй год мы погасим сумму S2. В этом случае имеем соотношение
.
Из последней формулы видно, что начисляются сложные проценты. По условию, через n лет мы должны погасить долг. В этом случае должно выполняться соотношение
S1+S2+…+Sn = S. (10)
Пусть, по определению 
. Тогда, из (10) следует
RV+RV2 + RVn = S.
Суммируя геометрическую прогрессию в последней формуле, окончательно получаем
. (11)
В задаче об определении числа лет, через которые первоначальный капитал, помещенный в банк, станет равным 
, мы должны вычислить число n, определяемое формулой (8)
.
Логарифмируя эту формулу, получаем
,
Откуда
.
Далее необходимо воспользоваться либо таблицами, либо калькулятором, вычислить численные значения логарифмов и написать ответ.
Векторы.
Вектором называется направленный отрезок 
с началом в точке А и концом в точке В. Вектор можно перемещать параллельно самому себе. Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами , так и строчной буквой 
. В декартовых координатах вектор задается следующим образом
. (12)
Здесь 
– единичные векторы, направленные вдоль осей х, y, z соответственно. Числа ax, ay, az называются проекциями вектора на соответствующие оси.
Модулем вектора называется его длина. Эта величина может быть вычислена через проекции вектора на оси координат (см.12) по следующей формуле:
. (13)
Здесь принято обозначение для длины вектора 
.
Скалярным произведением векторов и 
называется число, обозначаемое ( ), равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними.
. (14)
Определение угла между векторами ясно из рисунка 2.
 |
Рис.2
Определение угла между двумя векторами
Для векторов, заданных в декартовых координатах, из определения скалярного произведения следует
. (15)
Из (14) следует формула для вычисления угла между двумя векторами
. (16)
Операция сложения и вычитания векторов определяется простыми формулами
. (17)
Основы матричной алгебры.
Матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными буквами А, В, … Для обозначения чисел, составляющих матрицу, применяют строчные буквы aij, bij,… Индекс i обозначает номер строки, а индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент матрицы.
Матрицы А и В можно перемножить А·В, если выполнено следующее соотношение для размерностей матрицы: размерность матрицы А - m´k и размерность матрицы В - k´n. Иными словами число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В результате умножения получается матрица С размерностью m´n.
Если имеет место равенство С= А·В, то элементы Сij матрицы определяются формулой
. (18)
Матрица А-1 степени называется обратной матрице А, если выполнены равенства
А-1А=АА-1=Е.
Здесь Е – единичная матрица, то есть матрица, у которой диагональные элементы единицы, а все остальные элементы нули.
Матрица 
называется транспонированной к матрице А, если она построена из матрицы А посредством замены строк на столбцы с сохранением их порядка.
Определителем квадратной матрицы размерности 2 – А= 
,
называется число, построенное по правилу
. (20)
Определитель квадратной матрицы А= 
размерности 3 вычисляется по правилу
. (21)
Минором Мij элемента aij квадратной матрицы А размерности n называется определитель матрицы размерности n-1, получаемой из исходной матрицы посредством вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij квадратной матрицы А размерности n называется число, определяемое формулой
. (22)
Определитель квадратной матрицы А размерности n может быть представлен в виде разложения по элементам i строки или j столбца по формулам
. (23)
Матрица А' называется присоединенной матрице А, если элементами матрицы А' являются алгебраические дополнения матрицы – транспонированной матрице А.
. (24)
Сформулируем правило, по которому вычисляется обратная матрица А-1:
1. Находим определитель исходной матрицы |A|. Он должен быть не равен нулю. Матрицы, у которых |A|≠0 называются невырожденными.
2. Находим матрицу транспонированную данной.
3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы 
. Строим присоединенную матрицу А'.
4. Обратную матрицу вычисляем по формуле
. (25)
Система линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, …, х n может быть записана в виде
. (26)
Решение системы линейных уравнений (26) находим по формулам Крамера:
. (27)
Здесь числа Δі, Δ являются определителями, построенными по правилу
.
iй столбец
Примеры.
1).Найдите произведение матриц А·В, если
а) А= , В= 
Согласно правила (18) имеем
С=АВ= 
.
б) А= 
В= 
По формуле (18) получаем
С=АВ= 
Ответ: С= .
2). Вычислите определитель матрицы А= 
.
Раскладывая определитель этой матрицы по элементам первой строки, согласно формуле (23) имеем
|A|= 
.
Ответ: |A|=21.
3). Найдите матрицу, обратную данной А= 
.
Вычисления проведем по правилам вычисления обратных матриц, сводящихся к формуле (25).
1.Находим определитель исходной матрицы
|A|= 
.
2.Находим матрицу
= .
3.Находим алгебраические дополнения матрицы 
и строим присоединенную матрицу А′
11=-2, 12=-2, 13=0
21=-2, 22=0, 23=-2
31=0, 32=-2, 33=-2,
А-1= 
.
Проверим вычисления, для этого вычислим
А-1А= 
=Е.
Отсюда делаем вывод, что вычисления проведены верно.
Ответ А-1 
.
4). Решите систему уравнений
Для решения этой системы уравнений, согласно формулам Крамера (27), необходимо найти значения следующих определителей:
.
Вычисления этих определителей проводим по формулам (23), в результате получаем
Выпишем ответ: 
.
Легко видеть, что найденные решения удовлетворяют исходную систему уравнений, то есть вычисления проведены верно.
Ответ: х=-1, у=1, z=0.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
Ах+Ву+С=0. (28)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2 с координатами (х1,у1) и (х2,у2) соответственно следующее
. (29)
Если известно, что прямая отсекает на осях х и у отрезки соответственно равные а и b, то такую прямую удобно задавать уравнением прямой в отрезках
. (30)
Если известно, что прямая проходит через заданную точку М1(х1, у1), параллельно заданному вектору 
, то такая прямая определяется уравнением
. (31)
Прямая, проходящая через точку М1(х1,у1) и перпендикулярная заданному вектору , определяется следующим уравнением
a(x-x1)+b(y-y1)=0. (32)
Если задана прямая своим общим уравнением Ах+Ву+С=0 и требуется определить расстояние d от заданной точки М(хm,уm) до заданной прямой, то соответствующее расстояние определяется формулой
. (33)
Функции одной переменной.
Самый наглядный способ подачи информации – графический, поэтому необходимо представлять и уметь изобразить графики элементарных функций. В настоящем разделе мы напомним графики наиболее часто встречающихся из них.
1. Линейная функция y=kx+b
y
k=tgα
x
Рис.3
График линейной функции
2. Парабола у = а(х-х0)2 + С.
Знак коэффициента а определяет направление ветвей параболы.
Рис.4
График параболы
3. Степенная функция у = хa
Рис.5
График степенной функции
4. Показательная функция у = ах
Рис.6
График показательной функции
5. Логарифмическая функция y = loga x
Рис.7
График логарифмической функции
6. Тригонометрические функции
Рис.8
График функции y = sinx
Рис.9
График функции y = cosx
Рис.10
График функции y = tgx
Последовательности, пределы.
Для решения задач по данному разделу необходимо знать следующие утверждения:
I. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют
.
II. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
.
III. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от нуля
.
Некоторые задачи основаны на использовании замечательных пределов.
Первый замечательный предел
.
Второй замечательный предел
.
Здесь е – число, равное е ≈ 2,7182818….
Дифференциальное исчисление.
Для решения задач этого раздела требуются знания основных теорем о производных функций и таблицы производных основных функций.
Производная суммы и разности функций
Производная произведения функций
.
Производная частного двух функций
.
Производная сложной функции f(g(x))
.
Таблица производных основных элементарных функций
