Лекции.Орг
 

Категории:


Экологические группы птиц Астраханской области: Птицы приспособлены к различным условиям обитания, на чем и основана их экологическая классификация...


Электрогитара Fender: Эти статьи описывают создание цельнокорпусной, частично-полой и полой электрогитар...


Теория отведений Эйнтховена: Сердце человека – это мощная мышца. При синхронном возбуждении волокон сердечной мышцы...

IV. Теория и примеры выполнения заданий.



Загрузка...

 

 

Числа и их графическое изображение.

 

Всё многообразие величин, с которыми мы имеем дело, так или иначе измеряются, то есть сопоставляются с подобной величиной, которая принимается за единицу измерения. В результате такого сопоставления мы получаем число, выражающее отношение рассматриваемой величины к величине, принятой за единицу.

Числа бывают целыми, рациональными, иррациональными. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел.

Комплексными числами называются выражения вида z = a + ib (a и b – действительные числа, i – символ мнимой единицы).

Операции сложения, умножения и деления двух комплексных чисел z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 определяются следующими формулами:

 

z1+ z2=(a1+ a2)+ i(b1+ b2) (1)

z1· z2=(a1a2- b1b2-)+ i(a1 b2 + a2b1-) (2)

(3)

 

Комплексные числа можно изображать геометрически, если каждому комплексному числу z = a + ib сопоставить точку М (a, b) на координатной плоскости. Абсцисса точки равна действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой части. Ось абсцисс называется действительной осью Rеz, а ось ординат называется мнимой осью Imz.

 

Пример.

Выполните операции z1+ z2 , z1· z2 и с заданными комплексными числами z1=2+3i, z2= -4+5i.

Изобразите графически эти числа.

z1+ z2=(2 - 4)+ i(3+5)= -2+8 i

z1· z2= (-2·4-3·5)+ i(2·5 - 3·4)= -23 - 2 i.

=

 

Операции сложения, умножения и деления комплексных чисел z1=2+3i и z2= -4+5i выполнены согласно правилам 1-3.

Ответ: z1+ z2= -2+8i, z1· z2= -23-2i, = .

 

Согласно правилу изображения комплексных чисел, приведенному выше, рисуем плоскость, на которой изображаем заданные комплексные числа.

 

 

Imz

z2

 

z1

 
 

 


Rez

 

Рис.1

Графическое изображение комплексных чисел.

 

 

Исчисление процентов.

 

Сотая доля числа называется процентом, обычно обозначается буквой р и символом %. Из определения следует, что при нахождении р процентов от числа а необходимо выполнить операции, указанные в формуле

. (4)

Если мы говорим о повышении цены товара S на р% , то новая цена товара S' определяется выражением

. (5)

Если мы говорим о том, что имеется р килограмм q% раствора, то это означает, что растворенного вещества в растворе

.

При размещении вклада в банке на условиях начисления р% годовых на вложенную сумму S наш капитал через год станет равным

S1=S+S . (6)

Если начисления каждый последующий год делают на первоначально вложенную сумму, то говорят о простых процентах и через n лет наш капитал будет равен

. (7)

Если начисления каждый следующий год делают на сумму предыдущего года, то говорят о сложных процентах. Наш капитал в этом случае через n лет будет равен

. (8)

Рассмотрим задачу о возврате кредита. Предположим, что в банке взят кредит размером S на n лет. По условиям кредита, ежегодно необходимо выплачивать одну и ту же сумму R, такую, что через n лет кредит должен быть погашен. Необходимо рассчитать величину выплат R, при условии, что за пользование кредита начисляются р% годовых.

Определим, какую часть S1 первоначального долга S мы погасим, выплатив через год сумму R. Ясно, что имеет место соотношение

. (9)

Действительно, мы пользовались суммой S1 один год. С учетом начислений и условия выплат должна выполняться формула (9). Аналогично, во второй год мы погасим сумму S2. В этом случае имеем соотношение

.

Из последней формулы видно, что начисляются сложные проценты. По условию, через n лет мы должны погасить долг. В этом случае должно выполняться соотношение

S1+S2+…+Sn = S . (10)

 

Пусть, по определению . Тогда, из (10) следует

RV+RV2 + RVn = S.

Суммируя геометрическую прогрессию в последней формуле, окончательно получаем

. (11)

В задаче об определении числа лет, через которые первоначальный капитал, помещенный в банк, станет равным , мы должны вычислить число n, определяемое формулой (8)

.

Логарифмируя эту формулу, получаем

,

Откуда

.

Далее необходимо воспользоваться либо таблицами, либо калькулятором, вычислить численные значения логарифмов и написать ответ.

 

Векторы.

 

Вектором называется направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Вектор можно перемещать параллельно самому себе. Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами , так и строчной буквой . В декартовых координатах вектор задается следующим образом

. (12)

Здесь – единичные векторы, направленные вдоль осей х, y, z соответственно. Числа ax, ay, az называются проекциями вектора на соответствующие оси.

Модулем вектора называется его длина. Эта величина может быть вычислена через проекции вектора на оси координат (см.12) по следующей формуле:

. (13)

Здесь принято обозначение для длины вектора .

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое ( ) , равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

. (14)

Определение угла между векторами ясно из рисунка 2.

 

 
 


Рис.2

Определение угла между двумя векторами

 

Для векторов, заданных в декартовых координатах, из определения скалярного произведения следует

. (15)

 

Из (14) следует формула для вычисления угла между двумя векторами

. (16)

 

Операция сложения и вычитания векторов определяется простыми формулами

. (17)

 

Основы матричной алгебры.

 

Матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются прописными буквами А, В, … Для обозначения чисел, составляющих матрицу, применяют строчные буквы aij, bij,… Индекс i обозначает номер строки, а индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент матрицы.

Матрицы А и В можно перемножить А·В, если выполнено следующее соотношение для размерностей матрицы: размерность матрицы А - m´k и размерность матрицы В - k´n. Иными словами число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В результате умножения получается матрица С размерностью m´n.

Если имеет место равенство С= А·В, то элементы Сij матрицы определяются формулой

. (18)

Матрица А-1 степени называется обратной матрице А, если выполнены равенства

А-1А=АА-1=Е.

Здесь Е – единичная матрица, то есть матрица, у которой диагональные элементы единицы, а все остальные элементы нули.

Матрица называется транспонированной к матрице А, если она построена из матрицы А посредством замены строк на столбцы с сохранением их порядка.

Определителем квадратной матрицы размерности 2 – А= ,

называется число, построенное по правилу

. (20)

 

Определитель квадратной матрицы А= размерности 3 вычисляется по правилу

 

. (21)

 

Минором Мij элемента aij квадратной матрицы А размерности n называется определитель матрицы размерности n-1, получаемой из исходной матрицы посредством вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij элемента aij квадратной матрицы А размерности n называется число, определяемое формулой

. (22)

Определитель квадратной матрицы А размерности n может быть представлен в виде разложения по элементам i строки или j столбца по формулам

. (23)

 

Матрица А' называется присоединенной матрице А, если элементами матрицы А' являются алгебраические дополнения матрицы – транспонированной матрице А .

. (24)

 

Сформулируем правило, по которому вычисляется обратная матрица А-1:

1. Находим определитель исходной матрицы |A|. Он должен быть не равен нулю. Матрицы, у которых |A|≠0 называются невырожденными.

2. Находим матрицу транспонированную данной.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы . Строим присоединенную матрицу А'.

4. Обратную матрицу вычисляем по формуле

. (25)

Система линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, …, х n может быть записана в виде

. (26)

 

Решение системы линейных уравнений (26) находим по формулам Крамера:

. (27)

Здесь числа Δі, Δ являются определителями, построенными по правилу

 

.

 

iй столбец

 

 

Примеры.

 

1).Найдите произведение матриц А·В, если

а) А= , В=

Согласно правила (18) имеем

 

С=АВ= .

 

б) А= В=

По формуле (18) получаем

С=АВ=

Ответ : С= .

 

2). Вычислите определитель матрицы А= .

Раскладывая определитель этой матрицы по элементам первой строки, согласно формуле (23) имеем

|A|= .

Ответ: |A|=21.

 

3). Найдите матрицу, обратную данной А= .

Вычисления проведем по правилам вычисления обратных матриц, сводящихся к формуле (25).

1.Находим определитель исходной матрицы

|A|= .

2.Находим матрицу

= .

3.Находим алгебраические дополнения матрицы и строим присоединенную матрицу А′

11=-2, 12=-2, 13=0

21=-2, 22=0, 23=-2

31=0, 32=-2, 33=-2 ,

 

А-1= .

Проверим вычисления, для этого вычислим

А-1А= =Е.

Отсюда делаем вывод, что вычисления проведены верно.

Ответ А-1 .

 

4). Решите систему уравнений

Для решения этой системы уравнений, согласно формулам Крамера (27), необходимо найти значения следующих определителей:

.

 

Вычисления этих определителей проводим по формулам (23), в результате получаем

Выпишем ответ: .

Легко видеть, что найденные решения удовлетворяют исходную систему уравнений, то есть вычисления проведены верно.

Ответ: х=-1, у=1, z=0.

 

Аналитическая геометрия на плоскости.

 

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

Ах+Ву+С=0. (28)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2 с координатами (х11) и (х22) соответственно следующее

. (29)

 

Если известно, что прямая отсекает на осях х и у отрезки соответственно равные а и b, то такую прямую удобно задавать уравнением прямой в отрезках

. (30)

Если известно, что прямая проходит через заданную точку М11, у1), параллельно заданному вектору , то такая прямая определяется уравнением

. (31)

 

Прямая, проходящая через точку М111) и перпендикулярная заданному вектору , определяется следующим уравнением

a(x-x1)+b(y-y1)=0 . (32)

 

Если задана прямая своим общим уравнением Ах+Ву+С=0 и требуется определить расстояние d от заданной точки М(хmm) до заданной прямой, то соответствующее расстояние определяется формулой

. (33)

 

 

Функции одной переменной.

 

Самый наглядный способ подачи информации – графический, поэтому необходимо представлять и уметь изобразить графики элементарных функций. В настоящем разделе мы напомним графики наиболее часто встречающихся из них.

1. Линейная функция y=kx+b

y

 

 

k=tgα

x

 

 

Рис.3

График линейной функции

 

2. Парабола у = а(х-х0)2 + С.

Знак коэффициента а определяет направление ветвей параболы.

Рис.4

График параболы

 

3. Степенная функция у = хa

 

Рис.5

График степенной функции

 

 

4. Показательная функция у = ах

 

Рис.6

График показательной функции

 

 

5. Логарифмическая функция y = loga x

Рис.7

График логарифмической функции

 

 

6. Тригонометрические функции

Рис.8

График функции y = sinx

 

 

Рис.9

График функции y = cosx

 

 

Рис.10

График функции y = tgx

Последовательности, пределы.

 

Для решения задач по данному разделу необходимо знать следующие утверждения:

I. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют

.

 

II. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

.

 

III. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от нуля

.

 

Некоторые задачи основаны на использовании замечательных пределов.

Первый замечательный предел

.

Второй замечательный предел

.

Здесь е – число, равное е ≈ 2,7182818… .

 

Дифференциальное исчисление.

 

Для решения задач этого раздела требуются знания основных теорем о производных функций и таблицы производных основных функций.

 

Производная суммы и разности функций

Производная произведения функций

.

Производная частного двух функций

.

 

Производная сложной функции f(g(x))

.

 

Таблица производных основных элементарных функций

 

 





Дата добавления: 2017-01-21; просмотров: 327 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.04 с.