Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

где - заданный интервал.

Обычно считают, что , и тогда линейное уравнение принимает вид

, (1)

где .

Если , то –(1) линейное однородное уравнение, в противном случае оно называется неоднородным.

Решим однородное уравнение

. (2)

Очевидно, что - решение (2). Линейное уравнение удовлетворяет на (a,b) всем условиям теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, поэтому какое-то другое решение (2), отличное от тождественного нуля, не обращается в 0 ни в одной точке на (a,b).

Итак, считаем, что .

откуда, обозначая любую первообразную для функции , находим в случае , или . В случае ,

Осталось заметить, что формула и при дает решение уравнения (2). Таким образом, - решение уравнения (2) при всех С, и любое решение (2) имеет такой вид при соответствующей постоянной С.

Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде . При этом

Подстановка в уравнение дает

, или

Интегрируем и, обозначая первообразную для , получаем Тогда

Эту формулу иногда записывают в виде

понимая под знаком интеграла не все множество первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную.

Пример. Решить уравнение

Решим сначала вспомогательное уравнение . Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение . Для нахождения решения исходного уравнения используем метод вариации постоянной. Ищем решения нашего уравнения в виде , где – некоторая дифференцируемая функция. Тогда и, подставляя в уравнение, получаем:

Интегрируя, находим:

Тогда .

Итак, мы нашли решение исходного уравнения. Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (x+y – непрерывная функция а ее производная по y, равная 1, тоже ).

Ответ: .

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Уравнения вида , называются уравнениями Бернулли.

Для решение сводится к только что разобранному случаю;. В случае при делении на у^а получаем:

,у=0,

здесь мы сделали замену . Заметим, что при делении на мы должны не забыть учесть решение для . Полученное уравнение- линейное уравнение первого порядка, которое мы решаем, например, методом вариации постоянных. По найденному мы выписываем решение: для получаем , , для получаем