Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
где 
- заданный интервал.
Обычно считают, что 
, и тогда линейное уравнение принимает вид
, (1)
где 
.
Если 
, то –(1) линейное однородное уравнение, в противном случае оно называется неоднородным.
Решим однородное уравнение
. (2)
Очевидно, что 
- решение (2). Линейное уравнение удовлетворяет на (a,b) всем условиям теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, поэтому какое-то другое решение (2), отличное от тождественного нуля, не обращается в 0 ни в одной точке на (a,b).
Итак, считаем, что 
.
,
откуда, обозначая 
любую первообразную для функции 
, находим в случае 
, или 
. В случае 
,
Осталось заметить, что формула и при 
дает решение уравнения (2). Таким образом, - решение уравнения (2) при всех С, и любое решение (2) имеет такой вид при соответствующей постоянной С.
Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде 
. При этом
.
Подстановка в уравнение дает
, или
Интегрируем и, обозначая 
первообразную для 
, получаем 
Тогда 
Эту формулу иногда записывают в виде
,
понимая под знаком интеграла не все множество первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную.
Пример. Решить уравнение 
Решим сначала вспомогательное уравнение 
. Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение 
. Для нахождения решения исходного уравнения используем метод вариации постоянной. Ищем решения нашего уравнения в виде 
, где 
– некоторая дифференцируемая функция. Тогда 
и, подставляя в уравнение, получаем:
.
Интегрируя, находим:
.
Тогда 
.
Итак, мы нашли решение исходного уравнения. Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (x+y – непрерывная функция а ее производная по y, равная 1, тоже ).
Ответ: 
.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Уравнения вида 
, 
называются уравнениями Бернулли.
Для 
решение сводится к только что разобранному случаю;. В случае 
при делении на уа получаем:
,у=0, 
,
здесь мы сделали замену 
. Заметим, что при делении на 
мы должны не забыть учесть решение 
для 
. Полученное уравнение- линейное уравнение первого порядка, которое мы решаем, например, методом вариации постоянных. По найденному 
мы выписываем решение: для получаем 
, 
, для 
получаем
Пример. Решим уравнение Бернулли 
, ,
, ,
здесь мы сделали замену 
и при делении на 
мы учли решение . Теперь, решая уравнение как линейное однородное, получаем:
.
Далее, ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде: 
.
Поэтому 
, и замена 
приводит к ответу.
