Раздел 9. Дифференциальные уравнения первого порядка

· Излагается теория дифференциальных уравнений первого порядка

· Описываются основные типы уравнений первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ У' =F(X,Y). ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

О п р е д еле н и е. Дифференциальным уравнением, называется уравнение вида F(x,y,y',…, y⁽ⁿ⁾ = 0, где F(t₀,t₁,t_2,…, t_n+1) — функция, определенная в некоторой области D пространства R ⁿ⁺², х — независимая переменная, у — функция от х, у',…, у⁽ⁿ⁾ - ее производные.

О п р е д еле н и е. Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных у, входящих в уравнение.

Функция f(x) называется решением уравнения на промежутке (а; b ), если для всех х из (а;b)выполняется равенство: F(x,f(x),f'(x),..., f⁽ⁿ⁾(x)) = 0. Интегральная кривая — это график решения.

Пусть исследуемое уравнение имеет вид: у' =f(x,y). Это уравнение первого порядка, разрешенное относительно у'. (Термин "разрешенное" означает, что у' выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вила F(x,y,y') = 0, из которого выразить у', может быть и не удастся). Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть - непрерывная функция в области D R², причем - также непрерывен в D. Тогда для любой точки задача Коши:

имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть два ее решения у₁ и y₂, определенные на интервалах (a₁;b₁) и (a₂;b₂), содержащих точку x₀, то они совпадают, на пересечении (а;b) этих интервалов.

Замечание. Говорят, что решение y₁(x) дифференциального уравнения на интервале (a₁;b₁) есть продолжение решения у₂(х) на (a₂;b₂), если (a₂;b₂) (a₁;b₁) и у₁(х) ≡ у₂(х) на (a₂;b₂). Также говорят, что решение у(х) — максимальное или непродолжаемое о тносительно D, если у(х) не обладает продолжениями, целиком лежащими в D.

На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.

Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения у' =f(x,y) представляет собой у' - тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке (х, у), а правая часть f(x,y) задает его численное значение f(x,y) в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает поле направлений на области D, т.е. к каждой точке (х,у) D прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интегральной кривой.

Поэтому сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую точку (х.у) D проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая. Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде получить их решения.