Методика навчання математики

ГЛУХІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені Олександра Довженка

“ЗАТВЕРДЖУЮ” ПЕРШИЙ ПРОРЕКТОР     “_______” ______________ 2014 р

Кафедра математики і методики викладання Навчальний рік 2013 –2014 Семестр 8 Форма навчання денна

ПРОГРАМА

ДЕРЖАВНОГО ЕКЗАМЕНУ З МАТЕМАТИКИ

ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

 

 

напрям підготовки: 6.040201 Математика*

 

 

 

 

Програма затверджена ВЧЕНОЮ РАДОЮ Глухівського НПУ ім. О. Довженка пр. № від.

 

 

Програму склали:

 

Кугай Н.В., Борисов Є. М., Бурчак С.О., Заїка О. В.

 

 

Затверджено кафедрою Математики і методики викладання (назва кафедри)   Протокол № 8 від 20.03. 2014 р.   Завідуючий кафедрою (підпис)

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Мета державного екзамену з математики та методики викладання математики - перевірка рівня загальної математичної культури випускників та їх готовності до викладання математики.

Програма містить основні, найважливіші питання з геометрії, алгебри, математичного аналізу та методики викладання математики.

На державному екзамені студент повинен продемонструвати вміння формулювати означення і доводити теореми, а також ілюструвати свої відповіді прикладами.

Державний екзамен проводиться за білетами, затвердженими кафедрою. Пропонується такий варіант складання білетів: до кожного білета включається три теоретичні питання з різних розділів математики та методики викладання математики, а саме: перше з математичного аналізу, друге з алгебри або геометрії, третє - з методики викладання математики.

Запропонований варіант програми можна змінювати залежно від вибраного кафедрою варіанта програми читання основного курсу.

ВИЩА АЛГЕБРА

 

Випускники повинні володіти теоретико-множинною логічною символікою, основними поняттями алгебри і теорії чисел (алгебраїчна операція, група, кільце, поле, векторний простір, лінійна залежність і лінійна незалежність, базис і розмірність, лінійні оператори, матриці і визначники, прості числа, подільність, конгруенції, многочлени); мати чітке уявлення про основні числові системи і їх будову, володіти навичками розв'язування систем лінійних рівнянь, знати основні арифметичні застосування теорії конгруенцій.

Зміст програми

1. Системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення рівнянь системи. Рівносильні системи. Метод Гаусса розв'язання систем лінійних рівнянь.

2. Однорідні системи лінійних рівнянь, фундаментальна система розвязків.

3. Натуральні числа /аксіоми Пеано/. Принцип математичної індукції, різні форми індукції.

4. Різні методи розвязання СЛР (метод Гаусса, матричний метод, метод Крамера).

5. Матриці та визначники. Елементарні перетворення над матрицею.

6. Поле комплексних чисел. Алгебраїчна, тригонометрична форми комплексного числа.

7. Обернена матриця. Розв'язування системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.

8. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів. Ранг і базис системи векторів.

9. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Існування ненульових розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь.

10. Обернена матриця. Розв'язування матричним способом системи лінійних рівнянь. Формули Крамера.

11. Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів.

12. Векторні простори, підпростори. Ізоморфізм векторних просторів.

13. Лінійні оператори, властивості та дії над операторами.

14. Власні числа і власні вектори лінійного оператора.

15. Квадратичні форми. Критерій Сільвестра знакоозначеності квадратичної форми.

16. Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне двох чисел і зв'язок між ними.

17. Знаходження НСД та НСК двох чисел. Спосіб послідовного ділення або алгоритм Евкліда для знаходження НСД двох чисел.

18. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Канонічний розклад складеного числа у вигляді добутку простих чисел та єдність такого зображення. Канонічний запис і застосування такого запису до задач - знаходження НСД і НСК чисел.

19. Означення і основні властивості конгруентності цілих чисел. Повна і зведена системи лишків, їх властивості. Теореми Ейлера і Ферма.

20. Лінійні конгруенції з одним невідомим, теорема про число розв'язків. Способи розв'язування лінійних конгруенцій.

21. Застосування теорії конгруенцій до виведення ознак подільності та знаходження довжини періоду десяткового дробу /при перетворенні звичайного дробу в десятковий/.

22. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Найбільший спільний дільник двох многочленів і алгоритм Евкліда для знаходження НСД двох многочленів.

23. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.

24. Многочлени над полем раціональних чисел. Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Незвідні над полем раціональних чисел многочлени.

25. Лінійний простір. Базис та розмірність лінійного простору.

 

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Випускники повинні володіти основними поняттями математичного аналізу /функція, послідовність, границя, неперервність, похідна, диференціал, первісна, визначений інтеграл, ряд, збіжність ряду/; мати чітке уявлення про основні властивості елементарних функцій дійсної і комплексної змінної; володіти технікою обчислення границь, похідних і інтегралів; розв'язувати найпростіші диференціальні рівняння; досліджувати на збіжність ряди і вміти розкладати функції у степеневий ряд; знати застосування диференціального і інтегрального

числення, а також диференціальних рівнянь до розв'язування задач практичного змісту.

Зміст програми

1. Поняття множини. Способи задання множин. Скінчені множини. Зчисленні множини та їх властивості. Потужність множини. Множини натуральних N, цілих Z, раціональних Q та дійсних R чисел, їх властивості та потужність. Поняття верхньої і нижньої граней числової множини, їх існування і властивості.

2. Поняття числової послідовності. Приклади. Обмежені та монотонні числові послідовності. n -вимірний евклідів простір R _n як узагальнення просторів R ₁,R ₂,R ₃. Поняття послідовності у просторі R _n. Поняття послідовності з комплексними членами.

3. Границя числової послідовності. Основні властивості границь. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е.

4. Поняття функції та способи її задання. Приклади. Область визначення, область значень. Поняття функції n дійсних змінних. Поняття функції комплексної змінної.

5. Означення границі функції в точці і на нескінченності. Властивості границь. Деякі важливі границі. Границя у точці функції n дійсних змінних. Границя у точці функції комплексної змінної.

6. Неперервність функції в точці і на множині. Властивості неперервних функцій. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Неперервність у точці функції n дійсних змінних та функції комплексної змінної.

7. Поняття степеня з натуральним показником. Степінь з цілим показником. Розвиток поняття степеня з дійсним і комплексним показником.

8. Поняття похідної для функції однієї змінної. Диференційовність функції, необхідна та достатні умови. Правила диференціювання. Похідні основних елементарних функцій. Похідна функції комплексної змінної.

9. Поняття похідної для функції багатьох змінних (частинні похідні). Диференційовність функції багатьох змінних, необхідні та достатня умови.

10. Поняття похідної для функції однієї змінної, геометричний зміст похідної. Теореми Ролля, Лагранжа і Коші. Формула Тейлора.

11. Умови сталості і монотонності функції на проміжку. Екстремуми функції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.

12. Первісна та її властивості. Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування. Таблиця основних інтегралів.

13. Поняття інтеграла Рімана для функції однієї змінної (визначений інтеграл). Необхідні й достатні умови інтегровності функції. Обчислення інтегралів.

14. Кратні інтеграли. Необхідні й достатні умови інтегровності функції. Обчислення інтегралів.

15. Поняття криволінійного інтеграла для функції дійсних змінних, його властивості та обчислення.

16. Застосування інтегрального числення до розв'язування задач геометрії і фізики.

17. Показникова функція дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/.

18. Логарифмічна функція дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/.

19. Загальна степенева функція дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/.

20. Тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/.

21. Обернені тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної /означення, властивості/.

22. Поняття метричного простору. Приклади метричних просторів. Збіжні послідовності у метричних просторах. Функції /оператори, функціонали/ у метричному просторі. Границя і неперервність функції у метричному просторі.

23. Повні метричні простори. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.

24. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Геометричний ряд та гармонійний ряд. Властивості збіжних рядів.

25. Числові знакододатні ряди. Ознаки збіжності знакододатніх рядів: ознака порівняння, гранична ознака порівняння, ознака Даламбера, ознака Коші.

26. Числові ряди з довільними членами. Знакозмінні ряди, ознака Лейбніца. Абсолютно й умовно збіжні ряди та їх властивості.

27. Степеневі ряди з дійсними та комплексними членами. Інтервал /круг/ та радіус збіжності. Область збіжності степеневого ряду.

28. Ряд Тейлора. Розклад у степеневий ряд основних елементарних функцій. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.

1. Диференціальні рівняння першого порядку: означення, види, поняття розв’язку, особливого та частинного розв’язків. Приклади. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними. Приклади. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Приклади.
2. Диференціальні рівняння з однорідною функцією. Ідея розв’язування. Приклади. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння. Ідея розв’язування. Приклади.
3. Диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння, корені. Розв’язок однорідних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Розв’язування неоднорідних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами методом невизначених коефіцієнтів.
4. Диференціальні рівняння в частинних похідних: означення, види, поняття розв’язку, задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку в частинних похідних, характеристичне рівняння, перші інтеграли. Задача Коші. Приклади.
5. Диференціальні рівняння в частинних похідних: означення, види, поняття розв’язку, задача Коші. Квазілінійні диференціальні рівняння першого порядку в частинних похідних, характеристичне рівняння, перші інтеграли. Задача Коші. Приклади.

34. Основні поняття та принципи комбінаторики. Перестановки, розміщення, комбінації.

35. Випадкові події та операції над ними. Простір елементарних подій.

36. Основні теореми теорії ймовірностей (додавання ймовірностей сумісних та несумісних подій, формули повної ймовірності та формули Байєса).

37. Випадкові величини, види випадкових величин та способи їх задания. Закони розподілу та числові характеристики дискретних випадкових величин.

38. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин, їх числові характеристики.

39. Закон великих чисел та центральна гранична теорема.

40. Схема та формула Бернулі. Формула Пуассона.

41. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.

42. Функції випадкового аргументу та їх характеристики.

43. Закони розподілу та числові характеристики двовимірних випадкових величин.

44. Основні числові характеристики вибіркової сукупності. Графічне зображення статистичних розподілів.

45. Статистичні гіпотези та їх перевірка.

 

.

ГЕОМЕТРІЯ

Студенти повинні бути ознайомлені як з груповою, так і зі структурною точкою зору на геометрію, з сучасним аксіоматичним методом, основними фактами геометрії Лобачевского; мати загальні уявлення про елементи багатовимірної геометрії афінного та евклідового просторів, різні неевклідові геометрії; вміти застосовувати теоретичні знання на практиці, зокрема, до доведення теорем і розв'язування задач шкільного курсу геометрії; використання знання топології при означенні ліній, поверхонь, геометричного тіла тощо. Студенти повинні продемонструвати достатньо широкий погляд на геометрію та її методи, а також на елементарну геометрію з точки зору вищої, готовність викладати шкільну геометрію, незалежно від того на якій аксіоматиці вона побудована, тобто готовність працювати в школі за будь-яким посібником.

Зміст програми

1.. Вектори. Вектори в системі координат. Скалярний, векторний, мішаний добутки, їх властивості та застосування. Приклади.

2. Пряма лінія на площині і в просторі. Різні види рівнянь прямої (на площині і в просторі). Взаємне розміщення прямих. Кут між прямими. Приклади.

3. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола. Їх означення, канонічні рівняння, властивості. Приклади.

4. Площина. Різні види рівнянь площини. Зведення рівняння площини до нормального виду. Взаємне розміщення площин. Кут між прямою і площиною. Приклади.

5. Геометричні перетворення (симетрія, поворот, паралельне перенесення, перетворення подібності, гомотетія). Їх означення та інваріанти. Приклади.

6. Рух. Означення, властивості. Теореми Шаля про класифікацію рухів. Приклади.

Поверхні другого порядку, утворенні обертанням лінії другого порядку навколо осі з наступним стисненням (еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний параболоїд). Їх означення, канонічні рівняння, вершини, головні перерізи, осі та площини симетрії. Правило утворення рівняння поверхні обертання. Приклади.

7. Поверхні другого порядку, утворенні результатом руху прямої лінії, паралельно до заданого вектора (циліндричні поверхні). Їх означення, канонічні рівняння, вершини, головні перерізи, осі та площини симетрії. Приклади.

8. Центральне та паралельне проектування. Їх властивості. Теорема Дезарга. Застосування теореми Дезарга до розв’язування задач на побудову. Малий та великий принципи двоїстості. Приклади.

9. Повний чотиривершинник. Його властивості. Гармонічна четвірка точок. Побудова четвертої гармонічної точки. Приклади.

10. Гомологія. ЇЇ означення, властивості, види. Побудова гомологічних точок. Приклади.

11. Теореми Паскаля та Бріаншона для кривих другого порядку. Побудова шостого елементу кривої, якщо задано п’ять її елементів (точки та дотичні). Приклади.

12. Методи побудови перерізів площини: сліду та внутрішнього проектування, їх суть. Побудова перерізів круглих тіл (циліндр, конус), якщо задано три точки на поверхні, точка і слід, дві точки на поверхні та одна поза нею. Приклади.

13. Типи точок на гладкій поверхні. Перша та друга квадратичні форми. Їх геометричний зміст. Гауссова кривина, її зв'язок з першою та другою квадратичними формами.

14. Просторова крива. Супроводжуючий тригранник Френе. Формули Френе для просторової кривої. Приклади.

15. Топологічний простір, його властивості. Приклади. Класифікація топологічно правильних многогранників. Теорема Ейлера.

МЕТОДИКА НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

Державний екзамен з методики навчання математики є складовою частиною передбаченого навчальним планом єдиного екзамену з математики та методики навчання і має на меті перевірити рівень професійно-педагогічної підготовки майбутніх учителів математики.

Програма державного екзамену з методики навчання математики враховує, що студенти-випускники, крім методики навчання, складатимуть також державний екзамен з теорії та методики навчання і виховання. З цією метою, щоб уникнути дублювання, в програму з методики навчання математики навмисне не включено деякі питання загальної методики, які слід розкривати під час відповідей на екзамені з теорії та методики навчання і виховання. Не включено в програму і ряд питань спеціальної методики навчання математики, які в свій час більш детально розглядались на курсових екзаменах.

Відповідаючи на запитання білета з методики навчання математики, студент повинен продемонструвати: глибоке розуміння цілей і задач, які стоять перед школою і вчителем математики на сучасному етапі розвитку національної школи; вміння володіти певними навичками дослідницької методичної роботи; знання основних видів і змісту позакласної роботи з математики у школі; достатню обізнаність в засобах навчання математики; вміння ілюструвати свого відповідь прикладами з власного досвіду та досвіду роботи передових учителів математики.

Зміст програми