Формула Тейлора представляет собой один из основных инструментов математического анализа. Её смысл состоит в том, что функция 
представляется в виде 
, где 
– многочлен Тейлора, 
– остаточный член формулы Тейлора. В зависимости от вида она используется в различных целях: при вычислениях значений функций с заданной точностью, при исследовании асимптотического поведения функций и т.д.
Теорема. ( формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа) Пусть 
, 
, …, 
непрерывны в окрестности 
точки 
и пусть в 
существует 
. Тогда для любого 
существует точка 
, лежащая между и 
такая, что
(1)
Примечание. В этом представлении функции величина 
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Можно выписать более общую форму Шлёмильха и Роша (Schlömilch–Roche) остаточного члена:
, (2)
где 
– число, удовлетворяющее неравенствам 
, такое, что 
, а 
– любое число. Например, остаточный член в форме Лагранжа получится, если 
в этой общей форме (2). Иногда бывает удобен остаточный член в форме Коши, получаемый из (2) при 
:
.
Замечание. Часто вместо пишут 
, где и наоборот, каждому такому соответствует число между и .
Замечание. Часто вместо точки пишут просто , а вместо пишут 
и формула Тейлора приобретает вид:
, (6)
Замечание. В случае, когда – независимая переменная, или линейная функция от независимой переменной, 
, и 
. Обозначим 
. При этом формула Тейлора записывается так:
(7)
Замечание. Особенно часто формула Тейлора используется, когда 
. Тогда 
и
(8)
Эту формулу часто называют также формулой Маклорена (Mac-Laurin).
Теорема. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (G.Peano)). Пусть в окрестности точки существуют и непрерывны , … 
. Пусть 
существует в и непрерывна в точке
Тогда
при 
(1 )
Замечание. Вместо формул (7) и (8) предыдущего параграфа имеем, соответственно, 
при 
. И
Замечание. Утверждение теоремы останется справедливым, если предположить, что в окрестности точки существуют и непрерывны , … и что существует 
.
РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ex, sinx, cosx, lnx, (1+x)µ
Применим формулы Тейлора к функциям, перечисленным выше.
1) 
, где ξ – некоторая точка между 0 и x. Другая запись для точки ξ: ξ = θ x, 0 < q <1. Это – разложение ex с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для ex принимает вид
, 
.
2) 
, где ξ лежит между 0 и x.
Здесь – небольшая хитрость. Мы разложили функцию до членов степени 2n+2, что позволило сделать погрешность меньшей. Конечно, член 
выписывать не надо, он равен 0, а здесь он был помещён только для разъяснения вышеупомянутой «хитрости». Итак 
.
Аналогично,
Разложения для sinx и cosx по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеют вид:
, x→0
, x→0
3) 
,
где ξ – некоторая точка между 0 и х.
Разложение с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
4)
,
где - между 
и . Это так называемое биноминальное разложение с остаточным членом в форме Лагранжа. Та же формула с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
, 
.
В качестве примера применения формулы Тейлора рассмотрим задачу нахождения 
с точностью до 0,001.
Сначала подготовим ее к применению формулы Тейлора. Для этого, зная, что 
, перепишем вычисляемую величину в виде 
.
Используем биноминальное разложение при
, 
.
Число 
членов разложения выберем, исходя из заданной точности. Для этого найдем 
такое, чтобы:
(1)
(тогда при умножении на стоящий впереди коэффициент 2 получаем требуемую точность 0,001).
Очевидно, что:
;
Далее, - между и 
, поэтому 
и 
,
поэтому
Итак, абсолютная величина левой части неравенства (1) не больше, чем
. (2)
Поэтому если число (2) окажется меньше, чем 0,0005, то и остаточный член формулы будет меньше 0,0005 и требуемая точность будет достигнута.
Сразу ясно, что при 
Число 
.
Поэтому требуемую точность для приближенной величины даёт приближённая формула:
.
