Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано

Формула Тейлора представляет собой один из основных инструментов математического анализа. Её смысл состоит в том, что функция представляется в виде , где – многочлен Тейлора, – остаточный член формулы Тейлора. В зависимости от вида она используется в различных целях: при вычислениях значений функций с заданной точностью, при исследовании асимптотического поведения функций и т.д.

Теорема. ( формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа) Пусть , , …, непрерывны в окрестности точки и пусть в существует . Тогда для любого существует точка , лежащая между и такая, что

(1)

Примечание. В этом представлении функции величина называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Можно выписать более общую форму Шлёмильха и Роша (Schlömilch–Roche) остаточного члена:

, (2)

где – число, удовлетворяющее неравенствам , такое, что , а – любое число. Например, остаточный член в форме Лагранжа получится, если в этой общей форме (2). Иногда бывает удобен остаточный член в форме Коши, получаемый из (2) при :

Замечание. Часто вместо пишут , где и наоборот, каждому такому соответствует число между и .

Замечание. Часто вместо точки пишут просто , а вместо пишут и формула Тейлора приобретает вид:

, (6)

Замечание. В случае, когда – независимая переменная, или линейная функция от независимой переменной, , и . Обозначим . При этом формула Тейлора записывается так:

(7)

Замечание. Особенно часто формула Тейлора используется, когда . Тогда и

(8)

Эту формулу часто называют также формулой Маклорена (Mac-Laurin).

Теорема. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (G.Peano)). Пусть в окрестности точки существуют и непрерывны , … . Пусть существует в и непрерывна в точке

Тогда
при (1 )

Замечание. Вместо формул (7) и (8) предыдущего параграфа имеем, соответственно, при . И

Замечание. Утверждение теоремы останется справедливым, если предположить, что в окрестности точки существуют и непрерывны , … и что существует .

РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ e^x, sinx, cosx, lnx, (1+x)^µ

Применим формулы Тейлора к функциям, перечисленным выше.

1) , где ξ – некоторая точка между 0 и x. Другая запись для точки ξ: ξ = θ x, 0 <q <1. Это – разложение e^x с остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для e^x принимает вид
, .

2) , где ξ лежит между 0 и x.
Здесь – небольшая хитрость. Мы разложили функцию до членов степени 2n+2, что позволило сделать погрешность меньшей. Конечно, член выписывать не надо, он равен 0, а здесь он был помещён только для разъяснения вышеупомянутой «хитрости». Итак .

Аналогично,

Разложения для sinx и cosx по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеют вид:

, x→0

3) ,

где ξ – некоторая точка между 0 и х.

Разложение с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

где - между и . Это так называемое биноминальное разложение с остаточным членом в форме Лагранжа. Та же формула с остаточным членом в форме Пеано имеет вид: