РАЗДЕЛ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА И ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
· Излагаются основные теоремы анадиза и формула Тейлора
· Рассматриваются вопросы, важные для построения математических моделей
ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Пусть 
- некоторая проколотая окрестность точки а.
Определение: Точка а – точка локального максимума f(x), если для всех x 
выполняется неравенство f(x)<f(a). Если для всех x выполняется неравенство 
, то говорят о точке нестрогого максимума.
Аналогичным образом определяются точки локального минимума и нестрогого локального минимума. Следует только заменить входящие в определение неравенства неравенствами 
и 
, соответственно.
Обобщающие названия для точек максимума и минимума – точки экстремума.
Теорема1(П. Ферма): Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки а, пусть эта точка – точка экстремума (хотя бы нестрогого) для функции f(x) и пусть существует производная 
Тогда 
=0.
◄ 
Рассмотрим, для определенности, случай точки максимума. Тогда для всех x выполняется неравенство f(x)<f(a), или 
. Если x и х<a, то 
.
По условию существует производная . Значит, существует 
. По теореме о предельном переходе в неравенствах, 
.
Аналогично, при x , х>a выполняется неравенство 
, поэтому 
. Так как, = 
= 
, должны выполняться неравенства 
, из которых следует доказываемое равенство =0. ►
Примечание 1. В точке экстремума производная может не существовать. Примером служит функция 
. Она имеет минимум в точке х=0. однако 
, 
и 
не существует.
Примечание 2. Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума, но не достаточное, т.е. производная функции в точке может равняться нулю, а экстремума в этой точке нет. Пример: 
. Эта функция имеет производную 
, обращающуюся в ноль при х=0, однако возрастает на всей числовой прямой.
Следствие (необходимые условия экстремума). Если функция 
непрерывна на (а;b), то точками локального экстремума могут быть только такие точки х0, в которых производная функции либо не существует, либо обращается в 0.
Теорема2( М.Ролль ) Пусть
Тогда существует точка с (a;b) такая, что 
=0.
Замечание 1. все условия теоремы Ролля являются существенными. Это означает, что если не выполняется одно из них, а остальные два выполняются, заключение теоремы может оказаться неверным.
Примеры. 1) 
Выполнены условия 2) и 3), не выполнено условие 1). Для всех 
имеем 
=1.
2) f(x)= 
, x 
[-1;1].
Не выполнено условие 2), условия 1),3) выполнены. На интервале (-1;0): =-1; на интервале (0;1): =1. В точке x=0 производная не существует, поэтому на (-1;1) нет такой точки, что =0
3) f(x)=x
Выполнены первые 2 условия, третье на отрезке [0;1] не выполнено. Всюду на (0;1) имеем =1.
Следствие: Пусть
Тогда существует точка 
такая, что 
.
Замечание. Геометрический смысл теоремы Ролля: при ее условиях есть хотя бы одна точка с на интервале (а;b), касательная в которой параллельна оси x.
