Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума

Теорема1(П. Ферма): Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки а, пусть эта точка – точка экстремума (хотя бы нестрогого) для функции f(x) и пусть существует производная Тогда =0.

◄ Рассмотрим, для определенности, случай точки максимума. Тогда для всех x выполняется неравенство f(x)<f(a), или . Если x и х<a, то .

По условию существует производная . Значит, существует . По теореме о предельном переходе в неравенствах, .

Аналогично, при x , х>a выполняется неравенство , поэтому . Так как, = = , должны выполняться неравенства , из которых следует доказываемое равенство =0. ►

Примечание 1. В точке экстремума производная может не существовать. Примером служит функция . Она имеет минимум в точке х=0. однако , и не существует.

Примечание 2. Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума, но не достаточное, т.е. производная функции в точке может равняться нулю, а экстремума в этой точке нет. Пример: . Эта функция имеет производную , обращающуюся в ноль при х=0, однако возрастает на всей числовой прямой.

Следствие (необходимые условия экстремума). Если функция непрерывна на (а;b), то точками локального экстремума могут быть только такие точки х₀, в которых производная функции либо не существует, либо обращается в 0.

Теорема2( М.Ролль ) Пусть

Тогда существует точка с (a;b) такая, что =0.

Замечание 1. все условия теоремы Ролля являются существенными. Это означает, что если не выполняется одно из них, а остальные два выполняются, заключение теоремы может оказаться неверным.

Примеры. 1)

Выполнены условия 2) и 3), не выполнено условие 1). Для всех имеем =1.

2) f(x)= , x [-1;1].

Не выполнено условие 2), условия 1),3) выполнены. На интервале (-1;0): =-1; на интервале (0;1): =1. В точке x=0 производная не существует, поэтому на (-1;1) нет такой точки, что =0

3) f(x)=x

Выполнены первые 2 условия, третье на отрезке [0;1] не выполнено. Всюду на (0;1) имеем =1.

Следствие: Пусть

Тогда существует точка такая, что .

Замечание. Геометрический смысл теоремы Ролля: при ее условиях есть хотя бы одна точка с на интервале (а;b), касательная в которой параллельна оси x.