В отличие от композиции, разбиение числа не учитывает порядок следования частей. Поэтому число разбиений числа никогда не превосходит числа композиций.

ПРАВИЛО СУММЫ

Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.

При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В.
Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k—число совпадений.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.

При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановки без повторений — комбинаторные соединения, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.

формула для нахождения количества перестановок без повторений:

3. Приведём теперь формулы для перестановок без повторений: Pn = n! (эн факториал), и с повторениями:
Pn(m1,m2,...,mk) = n!m1!m2!...mk!.
n! = 1 · 2 · 3 ·... · n - эн факториал равен произведению эн натуральных чисел от 1 до n;
0! = 1 (факториал нуля равен единице), 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, (n-1)! = 1 · 2 ·... · (n-2)(n-1), (n+1)!= 1 · 2 ·... · (n-1)·n·(n+1).

4.5. Сочетания без повторений — комбинаторныесоединения из n элементов по m, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга только составом.

формула для нахождения количества сочетаний без повторений:

6. Перестановки с повторениями — комбинаторные соединения, в которых среди образующих элементов имеются одинаковые.В таких соединяниях участвуют несколько типов объектов, причём имеется некоторое количество объектов каждого типа. Поэтому в выборках встречаются одинаковые.
формула для нахождения количества перестановок с повторениями:

Сочетания с повторениями — комбинаторныесоединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета порядка с возможностью многократного повторения предметов.

формула для нахождения количества сочетаний с повторениями:

12. Принцип включений-исключений часто приводят в следующей альтернативной формулировке ^[4]. Пусть дано конечное множество , состоящее из элементов, и пусть имеется набор свойств . Каждый элемент множества может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через количество элементов, обладающих свойствами (и, может быть, некоторыми другими). Также через обозначим количество элементов, не обладающих ни одним из свойств . Тогда имеет место формула:

9. В общем случае:

число сочетаний с неограниченными повторениями.
где k – число предметов, r – число предметов, которые выбираем. Выводы:
Числа сочетаний и перестановок существенно зависят от спецификации элементов, из которых осуществляется комбинация.

18. В комбинаторике числом Белла называется число всех неупорядоченных разбиений n -элементного множества, при этом по определению полагают .

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

21. В теории чисел композицией, или разложением, натурального числа называется его представление в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых. Слагаемые, входящие в композицию, называют частями, а их количество — длиной композиции.

В отличие от композиции, разбиение числа не учитывает порядок следования частей. Поэтому число разбиений числа никогда не превосходит числа композиций.