Коэффициенты эластичности для ряда математических функций

Работа № 1

В первой работе рассматривается парнаялинейнаярегрессия:

(1)

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). Длялинейного уравнениястроится следующая система уравнений относительно параметров а и b:

Его решение имеет вид:

или , , (2)

где - средние значения результативного признака у и фактора х, s²_х– дисперсия фактора х, п - объем выборки.

Тесноту связи между переменными в линейной регрессии оценивает линейный коэффициент парной корреляции:

, (3)

Коэффициент детерминации R² определяется как квадрат показателя корреляции (линейного коэффициента) и имеет смысл доли факторного среднего квадратического отклонения (СКО) в общем СКО:

(4)

здесь - значение результативного признака, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него заданных значений х.

R ² характеризует качество подгонки кривой под измеренные значения у и изменяется от 0 до 1. В пределе при R ² = 1 уравнение регрессии точно аппроксимирует заданные значения, т.е. все точки на графике точно ложатся на регрессионную кривую, остаточное СКО равно нулю. Другое предельное значение, R²= 0, означает, что уравнение регрессии ничего не дает по сравнению с тривиальным предсказанием , и остаточное СКО равно общему; при этом факторное СКО равно нулю. Однако обычные значения R ² находятся между нулем и единицей. Для констатации хорошего качества подготовки кривой нужно, чтобы значение R ²было не меньше 0,8. Ошибка аппроксимации для каждого измеренного значения у определяется как относительная (выраженная в процентах) разность между значением у и значением , полученным по уравнению регрессии:

(5)

Осреднение этой величины по всем измеренным значениям у дает среднюю ошибку аппроксимации:

(6)

Таким образом, эта величина характеризует среднее отклонение расчетных значений от фактических. Она должна составлять не более 8 10%. Большее значение свидетельствует о плохом качестве аппроксимации.

По уравнению регрессии можно определить значение коэффициента эластичности. Для линейного уравнения этот коэффициент рассчитывается следующим образом:

(7)

Средний коэффициент эластичности получается при подстановке в формулу среднего значения фактора x.

Статистическая надежность уравнения регрессии в целом оценивается с помощью F- критерия Фишера:

(8)

В числителе и в знаменателе этого выражения стоят значения СКО на одну степень свободы (т.е. дисперсии на одну степень свободы). Факторная дисперсия имеет одну степень свободы и не отличается от значения факторной СКО:

(9)

Остаточная дисперсия имеет число степеней свободы, равное (n-2):

(10)

При анализе достоверности уравнения регрессии в целом фактическое значение F-критерия сравнивается с табличным, которое берется при некотором уровне значимости (например, 0,05) и двух степенях свободы - числителя, равной 1, и знаменателя, равной (n - 2): (см. Таблица F-критерия Фишера)

Далее выдвигается нулевая гипотеза Н_о том, что остаточная дисперсия равна факторной, т.е. . Это эквивалентно утверждению статистической незначимости уравнения регрессии. Альтернативная гипотеза Н₁ говорит о том, что факторная дисперсия превосходит остаточную, что и означает обоснованность предложенного уравнения и статистическую значимость связи между у и х.

Если , Н_о не отвергается (т.е. принимается), и уравнение регрессии считается статистически незначимым. В противном случае, т.е. превышение факторной дисперсии над остаточной считается неслучайным, и Н_о отвергается. При этом принимается H₁, уравнение регрессии признается статистически значимым.

Прогнозное значение результативного признака получается при подстановке в уравнение регрессии прогнозного значения фактора . Доверительный интервал прогноза значения для вероятности определяется по выражению:

(11)

Значение определяется по таблице t-распределения Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы . Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле:

(12)

где (13)

Решение типового задания 1.

По семи территориям Уральского районаза 1995г. известны значения двух признаков:

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % (у)	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., (х)
Удмуртская республика	68,8	45,1
Свердловская обл	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55, 0	58,8
Курганская обл	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

1. Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,05.

Решение.

1. Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = а + bх решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитываем значение всех сумм:

N п/п	y	x	ух	x²	y²

	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2.8	4,7
	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
	49,3	55,2	2121,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7

Определяем значение параметра b

Среднее значение переменных

(14)

(15)

С их помощью определим параметр а: = 57,89 + 0,35 × 54,9 = 77,11

Получаем уравнение линейной регрессии:

С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 процентных пункта.

Линейный коэффициент парной корреляции:

Здесь

Cвязь умеренная обратная.

Коэффициент детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента корреляции:

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения (колонка 7), а также разности между измеренными значениями и рассчитанными (колонка 8). Величины ошибок аппроксимации в колонке 9 рассчитаем как абсолютную величину значений в колонке 8 по отношению к измеренным значениям в колонке 2 в процентах:

Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%

Рассчитаем средний коэффициент эластичности линейной регрессии:

В среднем при увеличении х на 1% значение у уменьшается на 0.33%

Рассчитаем значение F-критерия:

Поскольку гипотезу Н_о о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения следует принять.

Теперь рассчитаем прогнозное значение по линейной модели при прогнозном значении фактора .

Прогноз результата: .

Определим доверительный интервал для этого прогноза. Для этого нам надо рассчитать стандартную ошибку прогноза по формуле:

Здесь:

Доверительный интервал рассчитывается так:

Здесь: (берем двухстороннее значение t -критерия Стьюдента): t (0,05;5)=2,57

Доверительный интервал равен: (39,42;74,38). Истинное значение прогноза с вероятностью 0,95 попадает в этот интервал.

Работа № 2

Во второй работе рассматривается парная нелинейная регрессия. Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

- полиномы разных степеней у = а + b₁ х + b₂ х² + b₃ х ³ + e;

- равносторонняя гипербола у = а+ + e.

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

- степенная у = а∙ х^b∙ e;

- показательная у = а ∙ b^х ∙ e;

- экспоненциальная у = е^а+^b^х ∙ e.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его параметров. Для оценки параметров регрессий используется метод наименьших квадратов (МНК). Перед использованием МНК необходимо произвести линеаризацию (с помощью преобразований нелинейную связь переводится в линейную) нелинейной регрессии.

Дляпреобразованноголинейного уравнениястроится следующая система уравнений относительно параметров а и b:

Его решение имеет вид: , ,

где - средние значения ln у и ln х, s²_х– дисперсия ln х, п - объем выборки.

Тесноту связи между переменными в нелинейной регрессии оценивает индекс корреляции (0£ r_xy £ 1): .

Оценку качества построенной модели даст индекс детерминации – квадрат индекса корреляции - и средняя ошибка аппроксимации.

Остальные показатели рассчитываются также как в линейной регрессии, используя аналогичные формулы (4-6, 8-13).

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения: .

Коэффициенты эластичности для ряда математических функций

Вид функции, y	Первая производная,	Коэффициент эластичности,
Линейная y = a+b·x+ε	b
Парабола второго порядка y = a+b·x+с·x ² +ε	B+ 2 ·c·x
Гипербола
Показательная y=a·b^x·ε	ln b·a·b^x	Э=x· ln b
Степенная y=a·x^b·ε	a·b·x^b ^-1	Э=b
Полулогарифмическая y=a+b· ln x+ε
Логистическая
Обратная

Решение типового задания 2.

По семи территориям Уральского районаза 1995г. известны значения двух признаков:

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % (у)	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., (х)
Удмуртская республика	68,8	45,1
Свердловская обл	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55.0	58,8
Курганская обл	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49.3	55,2

1. Рассчитать параметры парной степенной регрессии и равносторонней гиперболы..

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

Решение.

1а. Построению степенной модели у = а ∙ х^b предшествует процедура линеаризации переменных. Она производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y = lg a + b∙ lg x;

Y = C + b ∙X,

где Y = lg y, C = lg a, X = lg x.

Для расчетов используем данные:

	Y	X	YX	Y²	X²			()²
	1,8376 1,7868 1,7774 1,7536 1,7404 1,7348 1,6928	1,6542 1,7709 1,7574 1,7910 1,7694 1,6739 1,7419	3,0398 3,1642 3,1236 3,1407 3,0795 2,9039 2,9487	3,3768 3,1927 3,1592 3,0751 3,0290 3,0095 2,8656	2,7364 3,1361 3,0885 3,2077 3,1308 2,8019 3,0342	61,0 56,3 56,8 55,5 56,3 60,2 57,4	7,8 4,9 3,1 1,2 -1,3 -5,9 -8,1	60,8 9,6 1,4 1,7 34,8 65,6	11,3 5,2 2,1 2,4 10,9 16,4
Итого	12,3234	12,1587	21,4003	21,7078	21,1355	403,5	1,7	197,9	56,3
Ср. знач.	1,7605	1,7370	3,0572	3,1011	3,0194	х	х	28,27	8,0
s	0,0425	0,0484	х	х	х	х	х	х	х
s²	0,0018	0,0023	х	х	х	х	х	х	х

Рассчитаем С и b:

; .

Получим линейное уравнение . Выполнив его потенцирование, получим .

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитываем показатели:

- тесноты связи – индекс корреляции ;

- индекс детерминации R²= r²_xy = 0,1412;

- среднюю ошибку аппроксимации = 8,0%.

Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

В среднем при увеличении х на 1% значение у уменьшается на 0,298%

Рассчитаем значение F-критерия:

Теперь рассчитаем прогнозное значение по степенной модели при прогнозном значении фактора .

Прогноз результата: .

Здесь:

Доверительный интервал рассчитывается так:

Здесь: (берем двухстороннее значение t-критерия Стьюдента): t(0,05;5)= 2,57

Доверительный интервал равен: (38,47;75,64).

Истинное значение прогноза с вероятностью 0,95 попадает в этот интервал.

1б. Уравнение равносторонней гиперболы у = а + линеаризуется при замене z = , тогда у = а + b ∙ z.

Для расчетов используем данные:

	y	z	уz	z²	y²			()²
	68,8	0,0222	1,5255	0,000492	4733.44	61,8	7,0	49,0	10,2
	61,2	0,0169	1,0373	0,000287	3745,44	56,3	4,9	24,01	8,0
	59,9	0,0175	1,0472	0,000306	3588,01	56,9	3,0	9,0	5,0
	56,7	0,0162	0,9175	0,000262	3214,89	55,5	1,2	1,44	2,1
	55,0	0,0170	0,9354	0,000289	3025,00	56,4	-1,4	1,96	2,5
	54,3	0,0212	1,1504	0,000449	2948,49	60,8	-6,5	42,25	12,0
	49,3	0,0181	0,8931	0,000328	2430,49	57,5	-8,2	67,24	16,6
	405,2	0,1291	7,5064	0,002413	23685,76	405,2	0,0	194,9	56,5
Среднее значение	57,9	0,0184	1,0723	0,000345	3383,68	х	х	27,84	8,1
s	5,74	0,002145	х	х	х	х	х	х	х
s²	32,9476	0,000005	х	х	х	х	х	х	х

Значения параметров регрессии а и b составили:

Получено уравнение: = 38,5 + .

Индекс корреляции: .

Средняя ошибка аппроксимации = 8,1%.

Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

В среднем при увеличении х на 1% значение у уменьшается на 0,332%

Рассчитаем значение F-критерия:

Поскольку гипотезу Н_о о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения следует принять. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.