Глава 2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ
Тригонометрический ряд Фурье
Спектр периодического сигнала
Литература: [Л.1], c 38-40
Рассмотрение методов спектрального анализа радиотехнических сигналов начнем с детерминированных периодических сигналов.
Детерминированные сигналы характеризуются тем, что в любой наперед заданный момент времени 
его значения можно точно определить.
Периодическим детерминированным сигналом является сигнал известной формы периодически повторяющийся через интервал времени 
, называемый периодом повторения. Математически периодический сигнал описывается выражением
s п(t) = s п(t – kT) (2.1)
К периодическим сигналам относятся гармоническое колебание, определенное на бесконечном интервале времени, последовательность импульсов с известной амплитудой, длительностью и периодом повторения и другие.
Спектральный анализ предусматривает выбор системы базисных функций. На практике наибольшее распространение получили тригонометрические функции. Это обусловлено тем, что при преобразовании сигналов такой формы, например, линейными радиотехническими цепями их форма сохраняется, а меняются только амплитуда и фазы колебаний. С другой стороны, формирование таких сигналов осуществляется достаточно простыми техническими средствами.
Сигналы, описываемые тригонометрическими функциями, называются гармоническими сигналами, а спектральный анализ в системе базисных тригонометрических функций – гармоническим анализом.
Итак, выберем в качестве базисных функций систему
, (2.2)
где 
.
Нетрудно убедиться, что функции, образующие систему (2.2) являются ортогональными на интервале времени 
и удовлетворяют условию периодичности (2.1). Тогда в соответствии с (1.36)
(1.36)
можно записать
, (2.3)
где 
. 
Нормы базисных функций в соответствии с (1.26)
. (1.26)
равны
; 
.
Тогда из (1.39)
. (1.39)
вытекает
, (2.4)
, 
. (2.5)
Выражение (2.3) называется тригонометрическим рядом Фурье и представляет собой разложение сигнала 
на составляющие в системе тригонометрических функций.
В радиотехнической практике часто оказывается удобнее иное представление ряда (2.3). Выделим из (2.3) k-тую составляющую
и представим ее в виде
, (2.6)
Рис. 2.1
С геометрической точки зрения составляющую 
можно рассматривать как вектор в системе координат 
(рис. 2.1). Длина вектора 
, а 
-угол, на который повернут вектор относительно оси 
. Нетрудно убедиться, что
, 
.
Тогда выражение (2.6) принимает вид
, (2.7)
где 
.
С учетом (2.7), ряд Фурье (2.3) можно переписать следующим образом
. (2.8)
Составляющая
(2.9)
называется k-той гармонической составляющей или просто k-той гармоникой.
В соответствии с определением спектра, данном в предыдущем разделе, совокупность 
и 
составляют амплитудный спектр, а совокупность 
– фазовый спектр сигнала. Таким образом, амплитудный спектр периодического сигнала содержит постоянную составляющую и бесконечное число амплитуд соответствующих гармоник. То же самое относится и к фазовому спектру.
При спектральном анализе спектры удобно представлять в виде спектральных диаграмм.
На рис.2.2, а изображен периодический сигнал в координатах 
и 
. Проведем еще одну ось, перпендикулярную осям и и отложим на этой оси значения 
. Изобразим гармонические составляющие сигнала на этих частотах, а на оси частот отложим значения и в виде отрезков прямой. Если теперь развернуть всю систему координат вокруг оси на 90º в направлении стрелки, мы получим диаграмму амплитудного спектра сигнала (рис. 2.2, б). Таким же образом можно построить спектральную диаграмму фазового спектра, примерный вид которой показан на рис. 2.2, в.
Рис. 2.2
