Законы геометрической оптики

 

Для изучения действия оптических деталей, элементов и приборов на большинстве этапов их конструирования и создания нет необходимости описывать их работу постоянно опираясь на полные и точные представления о свете как о физическом явлении. В большинстве случаев при объяснении действия оптических и оптико-электронных приборов удобно воспользоваться геометрической – лучевой оптикой, рассматривающей формирование изображения с помощью световых лучей. Она не занимается изучением электромагнитной природы света и природы электромагнитных явлений, а описывает законы распространения света в прозрачных средах, включая отражение света от зеркальных или полупрозрачных поверхностей, исходя из обобщенных эмпирических данных. Несмотря на то, что геометрическая оптика является как бы феноменологической, описательной наукой, в этом разделе оптики сформулированы свои определения, правила и законы. И все же многие коэффициенты и соотношения геометрической оптики носят феноменологический характер. В частности, для примера, одна из наиболее важных характеристик среды распространения света – коэффициент преломления считается феноменологической характеристикой оптической среды, потому что, с одной стороны, он полностью игнорирует молекулярный состав среды, а с другой – физическую природу света.

Исторически законы и явления, относящиеся к геометрической оптике, были установлены раньше тех, которые следует считать волновыми. Считается, что основы геометрической оптики были разработаны голландцем Виллебрордом Снеллиусом в 1620 г. и французом Рене Декартом в 1637 г.

Геометрическая оптика базируется на целом ряде следующих своих фундаментальных понятий, определений и законов.

Световая точка или точечный источник света – это источник света, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором исследуется влияние этого источника света.

Световой луч – это направление, вдоль которого распространяется световая энергия, т.е. это линия, не имеющая поперечных размеров (может быть искривлена). Световой луч можно назвать главным объектом геометрической оптики. В англоязычной научно-технической литературе этому термину соответствует слово beam, но у которого есть и другой перевод – балка, брус, перекладина. Т.е проводится аналогия с предметами, у которых длина значительно превышает поперечные размеры. Интересно, что в русском языке есть слово «лучина» (тонкая длинная щепка от сухого полена), содержащее слово «луч». Именно эти соотношения поперечных размеров и длины соответствуют интуитивному представлению человека о луче. Поэтому мы обычно без колебаний говорим о солнечном луче или луче прожектора.

Еще в 1660 г. французский ученый Пьер Ферма сформулировал принципиальный вывод, согласно которому в изотропной среде оптическая длина пути светового луча, пришедшего в точку В из точки А, является наименьшей из всех возможных. Можно сказать, что все законы геометрической оптики, о которых будет сказано ниже, являются следствием принципа Ферма.

Пучек лучей – это совокупность взаимно-пересекающихся или параллельных лучей. Если все световые лучи пучка пересекаются в одной точке, то такой пучек является гомоцентрическим. Такой пучек может быть сходящимся или расходящимся. Если лучи пучка не пересекаются в одной точке, то такой пучек будет астигматическим. При изучении дейстивия оптических приборов обычно исследуются изменения направления световых пучков, поскольку в действительности мы всегда наблюдаем не отдельные лучи, а пучки лучей.

Действительное изображение светящейся точки – это точка, в которой в действительности сходятся и пересекаются после преломления или отражения световые лучи, идущие от некоторой светящейся точки.

Мнимое изображение светящейся точки – это точка, в которой в после отражения или преломления световые лучи расходятся, а их пересечение в этой точке можно получить только после геометрического продолжения отраженных или преломленных световых лучей.

Таким образом, пользуясь вышеприведенными понятиями геометрической оптики, а также некоторыми другими экспериментально установленными законами оптики и теоремами геометрии, можно, абстрагируясь от представления о физической природе света и приняв некоторую условную математическую терминологию, правильно определить результаты оптических приборов и достаточно точно выполнить необходимые оптические расчеты.

Пять экспериментально установленных законов называются законами геометрической оптики, которые были сформулированы для изотропных сред уже к середине ХVІІ века.

Первый закон – закон прямолинейного распространения света гласит: в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно. В такой изотропной среде показатели преломления должны быть одинаковыми во всем объеме.

Доказательством этого закона может служить наблюдение образования резких теней, создаваемых точечными источниками света. Если провести линию от такого точечного источника через любую точку контура предмета к соответствующей точке границы тени на экране, то можно убедиться, что эта линия – прямая.

Когда при больших размерах источника создаются нерезкие тени, то это также не противоречит первому закону, поскольку в этом случае свет будет распространятся прямолинейно не из одной точки, а от множества точек светящегося тела источника и тогда освещение предмета будет происходить как бы из разных сторон разнесенными точечными источниками, свет от которых создаст тень неравномерной густоты. Полная тень при протяженном источнике света образуется лишь в тех участках экрана, куда свет не попадает ни от какой светящейся точки. По краю такой полной тени создается более светлая область в виде полутени.

Но все же закон прямолинейного распространения света выполняется не во всех случаях. Это происходит, когда свет проходит через очень маленькие отверстия или когда встречает на своем пути очень малые предметы. Данное явление объясняетя к дифракции света, которая будет рассматриваться в разделе волновой оптики.

Второй закон – закон независимости распространения световых пучков, согласно которому если в какой либо области пространства встречаются пучки лучей, идущие в разных направлениях, то они не влияют друг на друга у каждый пучек распространяется так, как будто других пучков не существовало.

В качестве примера проведем следующий опыт. С одного угла темной комнаты, со стенами окрашенными черной матовой краской, в другой угол направим луч прожектора. Измерим освещенность созданного светового пятна и обведем его контуры. Другим прожектором, по диагонали комнаты, направим другой световой луч, который будет пересекать первый. Повторные замеры первоначального светового пятна дадут такой же результат как и в первом варианте: ни освещенность, ни размеры пятна не изменились.

На практике этот закон подтверждает и такой эксперимент: если перекрыть доступ некоторой части пучка лучей, идущих от объектива к светочувствительной матрице, то полученное изображение не изменится, так как оно будет создаваться неперекрытыми световыми пучками.

Но этот закон выполняется не во всех случаях – и это как раз касается явления интерференции, когда может происходить взаимодействие световых пучков. Исчерпывающее объянение интерференции также дает волновая оптика.

Третий закон – закон обратимости хода лучей можно сформулировать так: направление хода световых лучей в любой оптической системе можно поменять на обратное.

Четвертый закон – закон отражения света можно представить следующими тремя определениями.

· Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к отражающей поверхности в точке падения лежат в одной плоскости

· Угол падения α равен углу отражения γ по абсолютной величине, но противоположен по знаку (рис. 1)

· Луч падающий и луч отраженный обратимы, т. к. ход луча может быть и в прямом и в обратном направлениях.

 

Рис.1. Закон отражения

Луч света, переходя из одной прозрачной среды в другую, на границе раздела этих сред частично отразится в соответствии с законом отражения и частично войдет в другую среду. Причем, если луч падает не перпендикулярно к границе раздела двух сред, то в точке перехода из одной среды в другую он изменить свое первоначальное направление, т.е. произойдет его преломление.

Пятый закон – закон преломления света также характеризуется тремя определениями.

· Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к поверхности раздела сред в точке падения лежат в одной плоскости

· Луч падающий и луч преломленный обратимы, т. к. ход луча может быть и в прямом и в обратном направлениях.

· Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина постоянная для данной пары сред, не зависит от угла падения луча и равна относительному показателю преломления этих двух сред (рис.2):

sinα/sinβ= n₂/n₁=n₂₁.

 

Рис.2. Закон преломления

Постоянная величина – относительный показатель преломления – n₂₁=n₂/n₁ представляет собой отношение абсолютного показателя преломления n₂ второй среды к абсолютному показателю преломления n₁ первой среды. Этот закон еще называют законом Снеллиуса, так как его сформулировал еще в 1621 году именно Виллеброрд Снеллиус. Правда Снеллиус не использовал термин «показатель преломления», который ввел несколько позже Исаак Ньютон. Снеллиус в своем законе просто написал, что отношение sinα/sinβ есть величина постояннная для данного вещества.

Абсолютным показателем преломления среды называется отношение скорости распространения света с в вакууме к скорости распространения света в данной среде u:

n = с/u.

Как правило, все известные прозрачные вещества имеют абсолютные показатели преломления больше единицы. Только показатель преломления вакуума равен 1,0, а воздуха уже – 1,00029 (что на практике приравнивается единице), води 1,33. Показатели преломления современных оптических стекол различных сортов и других материалов находятся в пределах около 1,3…2,5. Например: алмаз – 2,42; стекло лёгкий флинт (один из сортов) – 1,58; кварц – 1,54; стекло крон (один из сортов) – 1,52; скипидар – 1,47; плавленый кварц – 1,46; этиловый спирт – 1,36; лёд – 1,31. Поскольку показатель преломления n из-за дисперсии несколько меняется в зависимости от длины волны света (постоянное значение он сохраняет только в вакууме), то необходимо отметить, что приведённые данные соответствуют желтому свету с длиной волны λ=589 нм.

Ту среду, показатель преломления которой меньше, называют оптически менее плотной. Из формулы отношения синусов следует, что при переходе светового луча из среды менее оптически плотной в среду более плотную, он преломляясь приближается к перпендикуляру, а при переходе из среды более оптически плотной в менее плотную, наоборот, больше отклоняется перпендикуляра.

Явление полного внутреннего отражения (иногда назвают законом полного внутреннего отражения) характеризует пограничное состояние между преломлением и отражением светового луча. Такое явление можно наблюдать при переходе светового луча из среды более оптически плотной n₁ в среду менее оптически плотную n₂ (n₁>n₂ ). При увеличении угла падения световых лучей α→ α_m → α₁ от источника S на поверхность раздела двух сред наступит такой момент, когда преломленный луч пойдет вдоль границы раздела двух сред, то есть при β = 90°. Угол падения α_m, при котором угол преломления β = 90°, называется предельным углом полного отражения и обозначается с индексом m (рис.3).

Рис.3. Предельный угол полного отражения α_m

Из закона преломления (при β = 90°), получим следующее соотношение: sin α_m /sin 90º= n₂/n₁.

Так как sin 90º=1, то это соотношение примет вид:

sin α_m = n₂/n₁.

Если в качестве второй среды будет воздух (вакуум) с n₂=1, то предельный угол для данной, более плотной среды α_m оказывается величиной постоянной и его можно определить из следующего выражения:

sin α_m = 1/n₁.

При дальнейшем увеличении угла падения, например до α₁, лучи не выйдут из первой среды вообще и будет происходить только отражения света от границы раздела двух сред по закону отражения.

Рассчитаем в качестве примера предельный угол полного отражения для стекла с показателем преломления n₁ =1,5:

так как sin α_m = 1/1,5=0,66667, то предельный угол полного отражения – α_m =42º.

Для воды, показатель преломления которой n₁ =1,33, предельный угол полного отражения составляет 48°35', для стекла (n₁ =1,5) он принимает значение 41°51', для одного из сортов стекла «флинт» (n₁ =1,66) – 37º, а для алмаза (n₁=2,42) этот угол составляет 24°40'. Во всех случаях второй средой является воздух (n₂=1).

Красивое зрелище представляет собой фонтан, у которого выбрасываемые струи освещаются изнутри. Объяснение явления наблюдаемого вами в опыте довольно простое. Луч света проходит вдоль струи воды и попадает на изогнутую поверхность под углом, большим предельного, испытывает полное внутреннее отражение, а затем опять попадает на противоположную сторону струи под углом опять больше предельного. Так луч проходит вдоль струи изгибаясь вместе с ней.

Но если бы свет полностью отражался внутри струи, то она не была бы видна извне. Часть же света рассеивается водой, пузырьками воздуха и различными примесями, имеющимися в ней, а также вследствие неровностей поверхности струи, поэтому она видна снаружи.

Полным внутренним отражением объясняется блеск капель росы на солнечном свете, светящиеся фонтаны, блеск бриллиантов, хрусталя, блеск пузырьков воздуха в воде, образование миражей, которые делят на нижние, видимые под объектом, и верхние – над объектом. Верхний мираж наблюдается над холодной земной поверхностью при инверсионном распределении температуры (росте ее с высотой), нижний мираж – при очень большом градиенте температуры (падении ее с высотой) над перегретой ровной поверхностью, часто – над пустыней или асфальтом.

Отметим, что полное отражение является более эффективным и совершенным, чем отражение от зеркального металлического покрытия или от специально изготовленного металлического зеркала, на поверхности которых всегда происходит частичное поглощение энергии падающего пучка света. Например, посеребрение поглощает до 3% лучистой энергии.

В начале 50-х годов прошлого века сформировалось новое направление в оптике – волоконная оптика, использующая явление полного внутреннего отражения, благодаря чему обеспечивается передача световых сигналов и изображений по пучкам прозрачных гибких волокон – световодам (толщиной от нескольких микрон до миллиметра).

Волоконные световоды с успехом применяются при съемке в труднодоступных местах, как, например, в медицине. В этом случае гибкий и достаточно тонкий световод вводят в желудок или в сосуды сердца для освещения, съемки и наблюдения тех или иных участков. Использование световодов позволяет исследовать внутренние органы человека без непосредственного введения источника света, так как световод может быть двойным: центральная часть используется для освещения, а внешняя – для передачи оптического изображения.

Подробно световоды и другие элементы волоконной оптики рассматриваются далее.