Кривые на плоскости и в пространстве

3.1. Параметрический способ задания кривой

Наиболее общим способом задания кривой является написание её уравнения в координатной или векторной формах (см. п.1.1.).

Координатная форма уравнения плоской кривой представляет собой систему

, (1)

где , , – некоторый промежуток, а и – определенные на нем функ- ции. Система (1) каждому t, сопоставляет точку плоскости с абсциссой и ординатой . Когда t, возрастая, пробегает отрезок , точка перемещается по плоскости; траектория, описываемая ею, и есть кривая G (рис.3.1).

Рис. 3.1.

 

Система

(2) есть координатная форма уравнения кривой G, расположенной в пространстве. Она каждому t, , ставит в соответствие точку , а кривая G есть траектория, которую описывает , когда t, возрастая, пробегает отрезок (рис. 3.2). Уравнения , входящие в систему (2), называют параметрическими уравнениями кривой Г

 

 

Рис. 3.2.

Уравнение (1) плоской кривой можно считать частным случаем уравнения (2) при на ; поэтому ниже, в основном, рассматриваем кривые, заданные уравнением (2). Это уравнение чаще записываем в векторной форме:

, (3)

где , . Заметим, что кривая G является годографом век- тор- функции

Ниже функции и , а, следовательно, и вектор- функцию , счи- таем непрерывными на .

Пусть кривая Г задана уравнением (3).

Определение. Кривую Г назовём элементарной кривой, если из условия , следует

.Уравнение кривой задает отображение отрезка числовой оси на множест- во точек плоскости или пространства, принадлежащих кривой. Это отображение непрерывно (так как непрерывная функция), а в случае элементарной кривой оно ещё и взаимно однозначно.

Рис. 3.3.

Пример 3. Пусть плоская кривая G является графиком функции , непрерывной на промежутке , : (рис.3.3). Уравнение этой кривой можно записать в явной форме ; можно записать для нее параметрические уравнения:

.

Очевидно, график G есть элементарная кривая.

 

Определение. Точку P, , назовем кратной точкой кривой или точкой самопересечения, если существуют и , , принадлежащие и такие, что точки и совпадают с P (следовательно, ).

Пример 1. Рассмотрим плоскую кривую G, заданную системой

.

Эта кривая изображена на рис.3.4. При возрастании t точка описывает G, двигаясь в направлении, указанном на рисунке стрелками. При она проходит через точку ; описав петлю, она снова проходит через точку P при . P – точка самопересечения кривой G.

 

Рис. 3.4.

Кривая, имеющая хотя бы одну точку самопересечения, не является элементарной.

Замечание. Если хотя бы одна из координатных функций , и строго монотонна на , то кривая G, заданная уравнением (3), является элементарной кривой. Дей- ствительно, пусть, к примеру, , строго моно- тонна. Тогда для любых и , , лежащих на , будет выполнено , а этого достаточно, чтобы утверждать: .

 

3.2. Касательная к кривой

В п.1.5. главы 2 было введено понятие о касательной к графику функции : касательная есть предельное положение секущей. Здесь мы определим это понятие для кривой, представленной параметрически и расположенной, вообще говоря, в пространстве.

Пусть G - элементарная кривая, заданная уравнением (3), где вектор- функция непрерывна на , .

Зафиксируем некоторое число , , и определим для и вектор- функцию :

Так как G – элементарная кривая, то при , поэтому определена при , причём (рис. 3.5.).

Допустим, что существует предел ; обозначим этот предел через . Обозначим также через точку с координатами , и (рис. 3.5).

Определение 2. Касательной к кривой G в точке назовем прямую , проходящую через точку параллельно вектору .

Замечание. Прямую , проходящую через точки и (), , называют секущей. Вектор – направляющий вектор секущей (рис. 3.5). При секущая вращается вокруг точки так, что угол между и стремится к нулю. Имея в виду это обстоятельство, касательную называют предельным положением секущей при .

Определение 2 имеет смысл, если существует . Между тем, этот предел существует не всегда.

Рис. 3.6.

Пример 1. Пусть , и – заданные векторы, причем и отличны от нуля и неколлинеарны. Обозначим через точку, радиусом-вектором которой является . Рассмотрим кривую G, уравнение которой

,

G состоит из двух лучей с общей вершиной : луча , параллельного и луча , параллельного (рис.3.6). При всех точка лежит на , поэтому при вектор коллинеарен ; при коллинеарен . Отсюда ясно, что односторонние пределы в точке различны, поэтому не существует. Следовательно, касательной к G в точке нет.

Итак, касательная существует не всегда.

Теорема 1. (О существовании касательной) Пусть вектор- функция в урав- нении (3) непрерывно дифференцируема в точке , , причём . Тог- да:

1) существует касательная к кривой G в точке , где , , ;

2) уравнение , есть уравнение касательной

► Так как , то хотя бы одна из координат , , век- тора отлична от нуля. Для определенности будем считать, что . Функ- ция – непрерывна в точке , поэтому найдется такое, что на ин- тервале . Значит, возрастает на этом интервале. Отсюда следует (см. замечание, п.3.1,): при любых и , , лежащих на интервале ,справедливо .

1) В проколотой окрестности рассмотрим вектор- функцию :

Пусть . Имеем: .

Вектор-функция дифференцируема в точке , поэтому

;

отсюда: .

Итак, .

Аналогично получим:

.

Так как односторонние пределы одинаковы, то предел существует и равен . Следовательно, касательная в точке Р₀ существует: это прямая , проходящая через параллельно

2) Запишем каноническое уравнение прямой . Она проходит через точку , а вектор является её направляющим вектором. Очевидно, что векторы и сонаправлены; поэтому в качестве направляющего вектора прямой можно взять . Значит, каноническое уравнение запишется так: .

Замечание. В процессе доказательства теоремы установлено, что вектор является направляющим вектором касательной . В этом состоит геометрический смысл производной вектор- функции..

Определение. Кривую G, заданную представлением (3), называют гладкой кри- вой, если

1) вектор-функция непрерывно дифференцируема на ;

2) .

Из этого определения и доказанной теоремы вытекает, что в каждой точке глад- кой кривой существует касательная к ней. Кроме того, так как производная , определяющая направление касательной, непрерывна на , на кривой нет “угло- вых” точек - точек, при переходе через которые направление касательной меняется скачком. В этом состоит геометрический смысл определения гладкой кривой. Геометрически гладкая кривая – это кривая, имеющая в каждой точке касательную, положение которой при движении точки вдоль кривой изменяется плавно.

Определение. Плоскость, проходящую через точку , , перпендикулярно касательной к G в точке , называют нормальной плоскостью кривой G в точке . Всякую прямую, проходящую через перпендикулярно , называют нормалью кривой G в точке .

Если G задана представлением (3), то уравнение нормальной плоскости к G в точке запишется так:

.

Остановимся отдельно на случае, когда G есть плоская кривая, являющаяся графиком функции на промежутке , . Система

есть координатная форма уравнения Г, а

,

где , есть векторная форма её уравнения. Если имеет на непрерывную производную , то производная непрерывна и отлична от на ; поэтому Г удовлетворяет требованиям определения гладкой кривой.. Пусть , , где . Запишем уравнение касательной к G в точке (см. утверждение 2) теоремы):

, т.е.

(сравните с уравнением касательной, полученным в п.1.5. гл. 2).

 

3.3. Длина кривой

Пусть кривая G задана уравнением

, (3)

Рис. 3.8.

где вектор-функция непрерывна на , . Обозначим через T некоторый набор чисел, лежащих на : . Введем также следующие обозначения: – точка с координата- ми , , , ; – ломаная линия, звеньями которой являются прямолиней- ные отрезки , , , . Вершины ло- маной , точки , , лежат на G, мы будем говорить, что ломаная вписана в кривую G (рис.3.8). Через обозначим длину ломаной :

.

Определение 1. Длиной кривой G назовем точную верхнюю грань длин всевозможных ломаных, вписанных в G.

Обозначать длину G будем через . Таким образом, по определению

,

где есть совокупность всевозможных наборов чисел таких, что ; здесь n принимает любые натуральные значения.

Величина – либо положительное число, либо . Достаточно ясно, напри- мер, что в такую неограниченную кривую, как парабола, можно вписать ломаную как угодно большой длины ; поэтому для параболы .

Определение. Кривую G назовем спрямляемой кривой, если ее длина есть неотрицательное число (т.е. если ).

Введем обозначения, которые используются ниже. Пусть вектор-функция непрерывно дифференцируема на сегменте Тогда функции , и непрерывны, а потому и ограничены на . Обозначим через , и точные нижние грани на функций , и соотвеетст- венно, а через , и – точные верхние грани на этих функций.

Теорема 1. (Достаточный признак спрямляемости кривой) Пусть кривая G, задана уравнением (3), где непрерывно дифференцируема на сегменте . Тогда G спрямляема, а ее длина удовлетворяет неравенствам:

. (4)

Пусть , . Запишем выражение для длины ломаной , вписанной в кривую G:

.

По формуле конечных приращений (теорема 4, п. 2.2, гл. 2) на сегменте найдутся точки , и такие, что , , , где . Отсюда:

. (5)

Так как , и , то

.

Неравенство справедливо для всякого набора T, поэтому

.

Тем самым доказаны спрямляемость кривой G и правая часть неравенств (4). Докажем левую часть этих неравенств. Из (5) имеем:

.

Совокупность содержит всевозможные наборы ; среди этих наборов имеются такие, для которых и . Если набор удовлетворяет условиям и , то , поэтому и не меньше , т.е. .

3.4. Уравнение с натуральным параметром

Пусть G – спрямляемая кривая, заданная уравнением (3). где вектор-функция непрерывно дифференцируема на сегменте , .

Обозначим через длину дуги, ограниченной точками и

(рис. 3.9). Величину будем рассматривать как функцию аргумента t, заданную на сегменте . Эту функцию называют переменной длиной дуги. Заметим: .

Теорема. (О переменной длине дуги) Переменная длина дуги дифференцируема на , причем

.

Пусть , и такое, что . Обозначим: . есть длина дуги кривой G, которую пробегает точка при возрастании t от до . По теореме о достаточном признаке спрямляемости

, (6)

где , и – точные нижние грани , и на , а , и – точные верхние грани на тех же функций. Так как указан- ные функции непрерывны на , существуют лежащие на точки , и , такие, что , , , а также точки , , и , такие, что , , . Из (6) теперь получим:

.

При , каждая из точек стремится к справа, поэтому, так как , и непрерывны в точке , получим:

.

Здесь – произвольное число из ; значит,

. (7)

Пусть теперь , и такое, что Заметим, что при приращение . Аналогично изложенному выше получим:

, (8)

где , и – точные грани на функций , и соответственно. Поделив все части (8) на отрицательное число , получим:

. (9)

На существуют точки , и , в которых , , достигает своих точных нижних и верхних граней. Из (9) имеем:

.

Перейдя здесь к пределу при , получим:

.

Здесь – произвольное число из ; следовательно, доказано:

. (10)

Из (7) и (10) вытекает: . Кроме того, (см. (7) и (см. 10)). Таким образом, утверждение теоремы справедливо.

Пусть кривая G, заданная представлением (3) является гладкой. Тогда . Но ; значит, на , и функция возрастает на от до . Обратная функция возрастает на , множество ее значений есть ; дифференцируема на , причем (гл.2, п. 1.3.).

Обозначим: . Когда s возрастает от 0 до , возрастает от a до b, так что годографом вектор- функции на является годограф вектор-функции на , т.е. кривая G. Следовательно, G можно задать параметрически уравнением

, (11)

в котором параметр s имеет геометрический смысл длины дуги. Этот параметр называют натуральным параметром кривой G, а уравнение (11) – уравнением G с натуральным параметром (иногда – натуральным уравнением G).

Замечание. Вектор-функция в уравнении (11) непрерывно дифференцируе- ма на , причем .

Из (2) следует, что непрерывна и не обращается в нуль на ; поэтому непрерывна на . Имеем:

.