2.1. Производная вектор- функции в точке
Пусть вектор-функция 
определена в окрестности 
точки t0 , т.е. на не- котором интервале (α,β), 
, и пусть t принадлежит этой окрестности, но не совпадает с t0. Составим проиэведение скалярного множителя 
на вектор разности - 
: 
. Это произведение представляет собой вектор- функцию, определённую в проколотой окрестности точки t0 , и можно ставить вопрос о сущест- вовании её предела при 
. В дальнейшем выражение будем записывать в виде дроби: 
.
Определение. Если существует 
, то этот вектор называют произ- водной вектор-функции в точке t0 .
Производную вектор-функции в точке t0 обозначают символами 
и 
. Таким образом,
Используя введённые в п.3 обозначения, можем записать:
= 
= 
= 
.
Установим связь между производной вектор-функции и производными её координатных функций.
Теорема 7. ( О связи производной вектор- функции с производными её коорди- натных функций) Пусть вектор-функция определена в окрестности t0 
, а x (t), y (t) и z (t) – её координатные функции. Тогда:
1) для того, чтобы существовала производная необходимо и достаточно, чтобы существовали производные 
и 
;
2) если производные и существуют, то
=(, )
► Так как - = (x (t)- x (t0), y(t)- y(t0), z (t) - z (t0)), то
= 
.
1) Необходимость. Пусть существует: . По тео- реме о покоординатной сходимости координаты вектора являются пределами при соответствующих координатных функций 
, 
, 
вектор-функции . Значит, каждая из дробей , , имеет при конечный предел, т. е. производные 
и существуют.
Достаточность. Пусть существуют и , т.е. дроби , и имеют при пределами числа и соответственно. Тогда из теоремы о покоординатной сходимости следует, что существует предел при вектор-функции , причём числа и являются его координатами, т.е. существует, причём
=(, ),
2) Это утверждение уже доказано, см. Достаточность. ◄
2.2.. Дифференцируемые вектор-функции
Пусть 
- скалярная функция, определенная в окрестности . t0 , а μ – - некоторое положительное число. Если 
, то говорят, что при есть “о малое” от 
и при этом записывают: = 
().
Сформулируем аналогичное понятие для вектор- функций.
Пусть вектор-функция 
определена в окрестности . t0 , а α1 (t), α2(t) и α3(t) – её координатные функции: = (α1 (t), α2(t), α3(t)). Пусть, далее, μ – некоторое положительное число.
Определение. Если 
, будем говорить, что при вектор-функция есть “о малое” от и при этом записывать: = ().
Замечание. Так как 
(см. Замечание к теореме 1). а 
- скалярная функция, то справедливо следующее утверждение: при вектор-функция есть “о малое” от тогда и только тогда, когда её длина при есть “о малое” от .
Лемма. Чтобы при вектор-функция была “о малым” от , необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладала каждая её координатная функция:
= () 
.
► Имеем: 
. По теореме о покоординат- ной сходимости
. ◄
Определение. Вектор-функцию назовём дифференцируемой в точке t0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки, и существует вектор 
та- кой, что для приращения Δ 
(h) справедливо асимптотическое представление:
Δ (h) = h + 
(3) Здесь 
, Δ (h) = 
- = - , а - некоторая вектор-функ- ция такая, что 
.
Теорема 8. (Критерий дифференцируемости)Пусть вектор-функция определена в окрестности t0 . Чтобы была дифференцируемой в точке t0 , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная .
► Необходимость. Пусть дифференцируема в точке t0. Заменив в форму- ле (3) 
на 
получим: - = 
+ + (). Отсюда:
и 
.+ 
. Так как = 
, то , т.е. производная существует и равна .
Достаточность. , Пусть существует и пусть. x (t), y (t) и z (t) – координат- ные функции Тогда по теореме 6 существуют производные и . Значит, эти скалярные функции дифференцируемы в точке t0; поэтому для их прира- щений справедливы представления:
где 
, 
, 
- функции, удовлетворяющие условиям:
Отсюда:
- = (x (t0+h)- x (t0), y(t0+h)- y(t0), z (t0+h) - z (t0)) =
= (
) =
= (
) h + h (, , ) =
= h + h 
,
где = (, , ). Ввиду условий, которым удовлетворяют , , , можем записать: 
. Итак,
- = h + h ,
где . Заметим: 
, т.е. h = 
. Значит,
Δ (τ) = h + , (4) Получено представление (3), в котором = . ◄
Следствие 1. Вектор в представлении (3) приращения дифференцируемой функции определяется единственным образом, а именно, = .
Этот результат уже получен, см. Необходимость.
Следствие 2. Если вектор-функция дифференцируема в точке 
, то суще- ствует вектор-функция 
, удовлетворяющая условиям , и такая, что справедливо представление Δ (τ) = h + h .
Существование уже доказано, см. Достаточность.
Следствие 3. Вектор-функция дифференцируема в точке тогда и толь- ко тогда, когда в этой точке дифференцируемы её координатные функции.
Утверждение следует из доказанной теоремы и теоремы 7.
Замечание. Если вектор-функция дифференцируема в точке ,то она и непрерывна в этой точке.
Действительно, из (3) следует: 
; значит (см. теорему 6), неп- рерывна в .
Пусть вектор- функции 
и 
, а также скалярная функция 
определе- ны в окрестности точки t0 . Пусть, далее, 
-некоторое число, а - некоторый вектор. Введём обозначения: 
+ ; 
; 
(, )- - скалярное произведение; 
[ , ] - векторное произведение.
Теорема 9. (О действиях над дифференцируемыми вектор-функциями) Если , и дифференцируемы в точке t0 , то 
, 
, 
и 
также диф- ференцируемы в этой точке, причём
1) 
= 
+ 
;
2) 
= 
+ ; в частности, если ≡ , то 
= ;
3) 
(, 
) + (, ); в частности, если ≡ , то (, ).
4) 
[ , ] + [ 
, ]; в частности, если ≡ , то 
[ , ].
Доказательства всех четырёх утверждений проводятся по единой схеме. Из- ложим доказательство утверждения 4).
► Пусть 
, 
. Тогда [ , ]= 
=
= 
. По условию теоремы и дифференцируемы в точке t0 ; значит (см. следствие 3 теоремы 8), в этой точке дифференцируемы их координатные функции. Отсюда вы-текает дифференцируемость в точке t0 функций 
= 
, 
= = 
и 
= 
, которые являются коорди- натными функциями вектор-функции . Следовательно (см. следствие 3 теоремы 8), дифференцируема в точке t0 . Значит, существует производная 
, причём (см. теорему 7) = (
, 
). Вычислив производные , , получим:
=(
) + (
) = = [ , ] + [ , ]. ◄
Теорема 10. (О производной сложной вектор-функции) Пусть скалярная функ- ция 
определена в окрестности , t0 , а вектор-функция 
определена в окрестности 
точки 
= 
. Если дифференцируема в точке , а дифференцируема в точке t0 , то сложная вектор-функция 
дифференци- руема в точке t0 , причём 
.
► Пусть x (θ), y (θ) и z (θ) – координатные функции : = (x (θ), y (θ), z (θ)). Заметим: =(
). Так как дифференцируема в точке , то в этой точке дифференцируемы её координатные функции (см. следствие 3 теоремы 8). По теореме о производной сложной скалярной функции суперпозиции дифференцируемы в точке t0 , причём
. Теперь можем записать:
(
) = (
) =
= (
= 
. ◄
Определение. Будем говорить, что вектор-функция дифференцируема на интервале (α, β), если она дифференцируема в каждой его точке. Будем говорить, что вектор-функция дифференцируема на сегменте [ α, β ], если она дифференцируе- ма на интервале (α, β) и, кроме того, существуют односторонние производные
и 
.
Теорема 11. Пусть вектор-функция непрерывна на сегменте [ α, β ] и диф- ференцируема на интервале (α, β). Тогда существует точка 
(α, β) такая, что справедливо неравенство:
.
► Рассмотрим скалярную функцию f (t), заданную на [ α, β ] равенством: f (t) = (
, 
). Из условия теоремы вытекает, что f (t) непрерывна на сегменте [ α, β ] и дифференцируема на интервале (α, β). По теореме Лагранжа существует точ- ка (α, β) такая, что справедлива формула конечных приращений: f (β) - fα) = = 
. Отсюда: | f (β) - fα) | = | 
. Опираясь на свойства скалярно- го произведения, можем записать:
f (β) – f(α) = (, 
) = 
;
| 
|((, 
)| 
| | |. Отсюда и из равенства | f (β) - fα) | = | следует:
| | | 
. Сократив на 
|, получим неравенство, которое и требовалось доказать. ◄
Теорема 12. Пусть вектор-функция удовлетворяет на интервале (α, β) ус- ловию: 
, где С≥ 0. Если дифференцируема на интервале (α, β), то при всяком 
скалярное произведение (, 
) равно нулю.
► Рассмотрим скалярную функцию f (t), заданную на (α, β) равенством: f (t) = (, ) = 
. Очевидно, f (t) 
на (α, β), и потому 
на (α, β). Но 
(, ) = (, ) + (
, )= 2 (, ). Отсюда:
(, ) 
на (α, β). ◄
Замечание. Если при соблюдении условий этой теоремы оба вектора и ненулевые, то они ортогональны.
2.3. Дифференциал вектор- функции
Пусть вектор-функция дифференцируема в точке t0 , t0 .
Определение. Дифференциалом вектор-функции в точке t0 назовём произ- ведение h, где h = Δ t – приращение аргумента t.
Обозначать дифференциал будем символами d или d 
, подчеркнув во вто- ром символе то обстоятельство, что дифференциал представляет собой вектор-функ- цию аргумента h, определённую на всей числовой оси равенством d = h или, так как приращение h = Δ t независимой переменной t равно дифференциалу d t, равенством d = d t. Заметим ещё, что формулу (4) теперь можно записать в виде:
Δ (h) = d + .
Из утверждений теоремы 9 вытекают следующие правила вычисления диффе- ренциалов в точке : Если + ; ; (, ) и [ , ], то
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Иэ теоремы 10 вытекает инвариантность формы дифференциала вектор-функ- ции. Действительно, пусть 
- скалярная функция, дифференцируемая в точке 
, а 
дифференцируема в точке t0 , где 
.Тогда сложная вектор-функ- ция 
дифференцируема в точке , причём 
. Отсюда, так как 
, получим: 
. Таким обра- зом, формула справедлива и в том случае, когда аргумент 
вектор-функ- ции 
является зависимой переменной.
2.4. Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть вектор-функция 
дифференцируема в окрестности 
точки 
, 
, т.е. на некотором интервале 
, 
. Сопоставив каждому t, 
, вектор 
, мы определим на новую вектор-функцию, которую называют производной от вектор-функции 
и обозначают через 
, или через , или через 
.
Если производная дифференцируема в точке , то производную от в точке называют производной второго порядка от вектор-функции в точке и обозначают через 
. Если производная дифференцируема в каждой точке интервала , то на существует производная от вектор-функции ; эту производную называют производной второго порядка от вектор-функции и обозначают через 
, или через 
, или через 
. Вообще, при всяком натуральном n, 
, производной порядка n от вектор-функции называют производную от производной порядка 
этой вектор-функции, обозначая ее через 
, или через 
, или через 
.
Определение 5. Будем говорить, что вектор-функция n, 
, раз дифференцируема в точке , , если в точке существуют производные от до порядка n включительно.
Для скалярных функций аналогичное понятие введено в §10 гл.1. Заметим, что n -кратная дифференцируемость вектор- функции в точке означает, что и ее производные 
определены и дифференцируемы в некоторой окрестности и, кроме того, производная 
дифференцируема в точке .
Упражнение. Доказать утверждения:
I. Пусть вектор-функция 
определена в некоторой окрестности , . Тогда:
1) ( n раз дифференцируема в точке ) Û (
, 
и 
n раз дифференцируемы в точке );
2) ( n раз дифференцируема в точке ) Þ 
.
II. Пусть вектор-функции 
и 
n раз дифференцируемы в точке , , и пусть l – некоторое число, а 
– некоторый вектор. Положим: 
, 
, 
, 
. Тогда:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
В этом и предыдущих пунктах введены основные понятия дифференциального исчисления вектор-функций: предел, непрерывность, производная, дифференциал. Они аналогичны соответствующим понятиям дифференциального исчисления скалярных функций и обладают аналогичными свойствами. Однако, полной аналогии между тео- ремами дифференциального исчисления для скалярных и векторных функций нет. Например, ясно, что не имеет смысла говорить о наибольшем или наименьшем значе- нии вектор- функции на промежутке, поэтому для вектор- функции нельзя сформулиро-вать теорему, аналогичную теореме Ферма (гл.2, п.2.1.). Нет для вектор- функций и аналогов теорем Ролля, Коши и Лагранжа (гл.2, п. 2.2.). Однако, справедлива теорема, аналогичная теореме Тейлора- Пеано (§4).
Теорема 6. Пусть вектор-функция n, , раз дифференцируема в точке , . Тогда справедлива асимптотическая формула:
.
Так как n раз дифференцируема в точке , то и ее координатные функции обладают этим свойством. По теореме Тейлора–Пеано (§4 гл.2)
,
,
,
где 
, 
, 
. Отсюда:
,
где 
. Так как ,
