Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

 

 

Здесь a (x) и b (x) — известные, непрерывные на [ a; b ] функции.

Доказано, что если функции a (x) и b (x) непрерывны на [ a; b ], то для любой начальной точки (x ₀, y ₀), x ₀∈ [ a; b ], задача Коши

 

 

имеет единственное решение y = y (x) на [ a; b ].

 

Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка:

 

 

 

Общее решение линейного уравнения 1-го порядка можно найти с помощью замены y (x) = u (x) · v (x).

Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

 

с непрерывными на [a;b] коэффициентами a(x) и b(x), вычисленное методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа), записывается в виде

 

 

где C — произвольная постоянная, x₀∈ [a; b], x∈ [a; b].

Найдём методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа) общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

 

 

и решение задачи Коши

 

 

Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

 

 

Это уравнение — уравнение с разделяющимися переменными, решение которого легко найти:

 

 

где C — произвольная постоянная.

Теперь будем искать решение неоднородного линейного уравнения в виде

 

 

где C (x) — неизвестная функция. В этом собственно и состоит метод Лагранжа — метод вариации (изменения) произвольной постоянной.

Подставляя выражение для y (x) в исходное неоднородное уравнение, получаем:

 

 

 

где C — произвольная постоянная. Теперь найдём решение задачи Коши:

 

 

Таким образом получено общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

 

 

и решение задачи Коши

 

На рисунке изображены интегральные кривые уравнения (чёрный цвет) и график решения задачи Коши (красная линия).

 

 

Уравнения Бернулли.

 

Уравнением Бернулли называется уравнение первого порядка вида

 

 

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции, n > 1.

Заменой z (x) = y ^{1- n} (x) уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно функции z (x):

Получили линейное относительно z (x) уравнение:

 

Пример:

 

Уравнение Бернулли

 

 

заменой z (x) = y ⁻³(x) при y ≠ 0 сводится к линейному уравнению относительно функции z (x):

Линейное уравнение

 

 

решим методом Лагранжа (вариацией произвольной постоянной):

 

 

Выполнив обратную подстановку z (x) = y ⁻³(x), получим при y ≠ 0 общий интеграл исходного уравнения:

 

 

Не следует забывать, что y = 0 — ещё одно решение уравнения.

 

Уравнение

 

M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0

 

называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение в левой части уравнения является дифференциалом некоторой функции двух переменных F (x, y), т.е. если

 

d F (x, y) = M (x, y)d x + N (x, y)d y.

 

Тогда F (x, y) = C — общий интеграл уравнения. Здесь C — произвольная постоянная.

Уравнение M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0 являетсяется уравнением в полных дифференциалах, тогда и только тогда, когда

Пусть выражение M (x, y)d x + N (x, y)d y в левой части уравнения M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0 является дифференциалом некоторой функции двух переменных F (x, y):

d F (x, y) = M (x, y)d x + N (x, y)d y.

 

Равенство d F (x, y) = M (x, y)d x + N (x, y)d y имеет место тогда и только тогда, когда функции M (x, y) и N (x, y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой односвязной области, и

Отсюда следует, что уравнение M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0 является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда

 

 

Список литературы

1. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов. Государственное издательство «Высшая школа» Москва-1962г.

2..В.В.Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник.- Д.: Сталкер,

1997г.

3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (8-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1959