Содержание
1 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. 1.1 Дифференциальное уравнение. Определение решения......4 1.2 Уравнения с разделяющимися переменными......................6
2 Линейные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Примеры. 2.1 Линейные диф-ные уравнения первого порядка..................9 2.2 Уравнения Бернулли.............................................................12
Список литературы
3
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.
Дифференциальное уравнение. Определение решения.
Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе.
Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.
Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.
Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения.
Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y (x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные {\displaystyle y'(x),y''(x),...,y^{(n)}(x)} 
до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид
(1)
где y=y(x) {\displaystyle y=y(x)} — неизвестная функция, зависящая от независимой переменной x. {\displaystyle x,}юю {\displaystyle x.} Число {\displaystyle n} n называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.
Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:
(2),
где функции 
определены и неперерывны в некоторой области 
.
Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.
Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ')=0, удовлетворяющего условию y(x0)= y0, называется задачей Коши (или начальной задачей).
Условие y(x0) = y0 — начальное условие.
Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.
Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x,y) = C, называется общим интегралом уравнения.
Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x,y) = 0, называется частным интегралом уравнения.
Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:
Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:
M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0.
Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y (x), так и в виде x = x (y).
Пример:
Решением уравнения
при всех x ≠ 0 является функция
Действительно, подставив выражение для y (x) в левую
и в правую часть уравнения
получили тождественное равенство
справедливое при всех x ≠ 0 и при произвольных значениях константы C.
