Свойства сходящихся последовательностей: теоремы о предельных переходах в неравенствах.

Бесконечно малые последовательности и их свойства. Доказательство основных свойств.

Определение: Последовательность {a_n} (альфа) наз. бесконечно малой, если для любого положительного числа e (эпсилон) можно указать номер N такой, что при n>N, все элементы a_n этой послед-сти удовлетворяют неравенству:|a_n | < e (1)

e - сколько угодно малое число, т.к. номер N зависит от e, обычно пишут N(e). Послед-сть {a_n} наз. бесконечно малым, если для любого e>0 существует N=N(e) такой, что для любого n>N Þ |a_n | < e.

Теорема 1. Сумма(разность) 2-х бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Док-во: Пусть {a_n} и{b_n}-бесконечно мал. послед-сть. Покажем, что послед-сть {a_n ± b_n}-бесконечно малая. Зафиксируем N₁- номер, начиная с которого справедливо неравенство: |a_n| < e/2 (/ - знак деления). N₂-номер, начиная с которого справедливо нер-во: |b_n| < e/2. Пусть N=max {N₁ ; N₂}. Т.к.|a_n ± b_n| £ |a_n| + |b_n|, то, начиная с номера N будет справедливо

|a_n ± b_n| < e/2 + e/2 = e. Таким образом, начиная с номера N справедливо |a_n ± |b_n| < e, т.е. послед-сть {a_n ± b_n}-бесконечно малая. Следовательно алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малой послед-сти есть бесконечно мал. послед-сть.

Теорема 2. Бесконечно мал. послед-сть ограничена.

Док-во: Пусть {a_n}-бесконечно мал. послед-сть. Зафиксируем e>0 и обозначим N-номер, начиная с которой |a_n | < e. Пусть А=max{e,|a₁|, |a₂|…,|a_n |}. Тогда для любого n справедливо неравенство:

|a_n | £ А, т.е. послед-сть |a_n | ограничена.

Теорема 3. -без док-ва!! Произведение ограниченной послед-сти на бесконечно мал. послед-сти есть бесконечно мал. послед-сть. Следовательно: 1)Произведение постоянной на бесконечно мал. послед-сти есть бесконечно мал. посл-сть.2) Произведение конечного числа бесконечно мал. посл-сти есть бесконечно мал. посл-сть. Замечание: Частное бесконечно мал. посл-сти мажет быть посл-сть любого типа.

Теорема 4. Если все элементы бесконечно мал. послед-сти {a_n} равны некоторому числу С, то это число С=0.

Док-во: Предположим, что С=0, тогда выберем e = |С| / 2 > 0. Запишем для этого e нер-во (1)из определения бесконечно мал. послед-сти

|a_n | < e, т.к. по условию a_n= С, то получаем

|С| < |С| /2 (|C| сокращаем), т.е. 1 < ½ - противоречие. Предположение неверно Þ C=0.

Теорема 5. –без док-ва!! Если {х_n} бесконечно большая послед-сть, то начиная с некоторого номера определена послед-сть {1/х_n}, которая явл. бесконечно малой. Если {a_n}-бесконечно мал. после-сть, все элементы которой не равны 0, то посл-сть {1/a_n}-бесконечно большая послед-сть.

Свойства сходящихся последовательностей: теоремы о предельных переходах в неравенствах.

Теорема1. Если элементы сходящейся посл-сти, начиная с некоторого номера удовлетворяет неравенству:

х_n³b (х_n£b), то и предел а послед-сти {х_n} удовлетворяет такому же неравенству а³b (a£b).

Док-во: Пусть, начиная с номера N, справедливо неравенство: х_n³b. Покажем, что а³b,

где а= lim x_n

n®¥. Предположим, что это не так и a<b. Зафиксируем e=b – a >0. Тогда по опред. 2 предела послед-сти, начиная с некоторого номера справедливо неравенство:

| х_n -а|<e

| х_n -а|< b-a

-(b-a)< х_n- а<b-a. Отсюда х_n<b, что противоречит условию теоремы. Предположим а<b неверно, т.е. а³b, что и требовалось доказать. Замечание: Возможно ситуация, когда х_n>b, а предел а=b.

Следствие1: Пусть {х_n} и {y_n}-сходящ. Послед-сти, причем, начиная с некоторого номера.

х_n ³ y_n (х_n £ y_n)

Тогда lim x_n ³ lim y_n (lim x_n £ lim y_n)

n®¥ n®¥ n®¥ n®¥. Следствие2: Если все элементы послед-сти x_n принадлежат отрезку [а,b], то и предел с послед-стью {х_n} принадлежит этому же отрезку. Т.е. а£ х_n£ b, то а£ С £ b, где С= lim x_n

n®¥

Теорема 2. («о двух милиционерах»)- без док-ва!!

Пусть послед-сти {х_n} и {z_n} сходятся к одному и тому же числу а. Пусть далее, начиная с некоторого номера, элементы послед-сти y_n удовлетворяет нер-ву: х_n£ y_n£ z_n.

Тогда послед-сть {y_n} сходится и имеет предел а.

8) Монотонные последовательности, теорема (признак ВЕЙЕРШТРАССА) о сходимости монотонных ограниченных послед-стей (без док-ва).

Определение. Последовательность {х_n} наз. Неубывающей(невозрастающей), если каждый последующий элемент этой послед-сти не меньше(не больше) предыдущего: х_n+1 ³ х_n -неубывающая монотонная послед-сть (х_n+1 £ х_n- невозрастающая монотонная послед-сть.)

Если неравенства строгие, т.е. х_n+1 > х_n – возрастающая строго монотонная посл-сть

(х_n+1 < х_n-убывающая строго монотонная посл-сть)

Теорема(признак ВЕЙЕРШТРАССА): Если неубывающая послед-сть ограничена сверху, то она сходится, если невозрастающая посл-сть ограничена снизу, то она сходится Þ если монотонная посл-сть ограничена, то она сходится.

9) Бином Ньютона, предел последовательности (1 + 1/n)ⁿ (/-знак деления), число е.

(а + b)ⁿ=aⁿ + n · a^n-1 · b +n(n+1)/2! · a^n-2 · b² + n(n-1)(n-2)/3! · a^n-3 · b³ +…+ n(n-1)(n-2) … …(n-k+1)/k!· a^n-k · b^k +…+bⁿ (1)

R!=1·2·3…R (!-факториал)

(По определению 0!=1).

Биномиальный коэффициент.

С_n^{R-степень}= n(n-1)…(n-k+1)/k!=n!/k!(n-k)!

При k=n, коэффициент при bⁿ n(n-1)…(n-k+1)/k! = n(n-1)(n-2)…(n-n+1)/n! = n!/n! = 1

­

 

k=n

Формула Бинома Ньютона при а=1, b=х

(1+х)ⁿ= 1+nх+ n(n-1)/2!·х² + n(n-1)(n-2)/3! · х³ + хⁿ (2)

Рассм. Послед-сть x_n =(1+1/n)ⁿ

Покажем, что эта послед-сть: 1)возрастает,2)ограничена сверху Þ по признаку Вейерштрасса сходятся.

Применим к x_n формулу (2): x_n=(1+1/n)ⁿ=1+n · 1/n + n(n-1)/2! ·1/n² + n(n-1)(n-2)/3! · 1/n³ +…+

+ n(n-1)(n-2)…(n-(n-1))/n! · 1/n³=2+1/2!(1-1/n)+ 1/3!(1-1/n)(1-2/n)+…+1/n!(1-1/n)(1-2/n)…

(1- (n-1)/n)

Аналогично записывается формула для х­_n+1. Сумма для х­_n+1 содержит на одно положительное слагаемое больше: х­_n+1 > х­_n-возрастающая. Можно показать, что 2< х­_n<3- ограничена сверху.

Т.к. послед-сть {х­_n} возрастает и ограничена сверху, то она сходится, причем:

lim(1 + 1/n)ⁿ=e (определение числа е [е»2,71828..])

n®¥