Бесконечно малые последовательности и их свойства. Доказательство основных свойств.
Определение: Последовательность {an} (альфа) наз. бесконечно малой, если для любого положительного числа e (эпсилон) можно указать номер N такой, что при n>N, все элементы an этой послед-сти удовлетворяют неравенству:|an | < e (1)
e - сколько угодно малое число, т.к. номер N зависит от e, обычно пишут N(e). Послед-сть {an} наз. бесконечно малым, если для любого e>0 существует N=N(e) такой, что для любого n>N Þ |an | < e.
Теорема 1. Сумма(разность) 2-х бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Док-во: Пусть {an} и{bn}-бесконечно мал. послед-сть. Покажем, что послед-сть {an ± bn}-бесконечно малая. Зафиксируем N1- номер, начиная с которого справедливо неравенство: |an| < e/2 (/ - знак деления). N2-номер, начиная с которого справедливо нер-во: |bn| < e/2. Пусть N=max {N1 ; N2}. Т.к.|an ± bn| £ |an| + |bn|, то, начиная с номера N будет справедливо
|an ± bn| < e/2 + e/2 = e. Таким образом, начиная с номера N справедливо |an ± |bn| < e, т.е. послед-сть {an ± bn}-бесконечно малая. Следовательно алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малой послед-сти есть бесконечно мал. послед-сть.
Теорема 2. Бесконечно мал. послед-сть ограничена.
Док-во: Пусть {an}-бесконечно мал. послед-сть. Зафиксируем e>0 и обозначим N-номер, начиная с которой |an | < e. Пусть А=max{e,|a1|, |a2|…,|an |}. Тогда для любого n справедливо неравенство:
|an | £ А, т.е. послед-сть |an | ограничена.
Теорема 3. -без док-ва!! Произведение ограниченной послед-сти на бесконечно мал. послед-сти есть бесконечно мал. послед-сть. Следовательно: 1)Произведение постоянной на бесконечно мал. послед-сти есть бесконечно мал. посл-сть.2) Произведение конечного числа бесконечно мал. посл-сти есть бесконечно мал. посл-сть. Замечание: Частное бесконечно мал. посл-сти мажет быть посл-сть любого типа.
Теорема 4. Если все элементы бесконечно мал. послед-сти {an} равны некоторому числу С, то это число С=0.
Док-во: Предположим, что С=0, тогда выберем e = |С| / 2 > 0. Запишем для этого e нер-во (1)из определения бесконечно мал. послед-сти
|an | < e, т.к. по условию an= С, то получаем
|С| < |С| /2 (|C| сокращаем), т.е. 1 < ½ - противоречие. Предположение неверно Þ C=0.
Теорема 5. –без док-ва!! Если {хn} бесконечно большая послед-сть, то начиная с некоторого номера определена послед-сть {1/хn}, которая явл. бесконечно малой. Если {an}-бесконечно мал. после-сть, все элементы которой не равны 0, то посл-сть {1/an}-бесконечно большая послед-сть.
Свойства сходящихся последовательностей: теоремы о предельных переходах в неравенствах.
Теорема1. Если элементы сходящейся посл-сти, начиная с некоторого номера удовлетворяет неравенству:
хn³b (хn£b), то и предел а послед-сти {хn} удовлетворяет такому же неравенству а³b (a£b).
Док-во: Пусть, начиная с номера N, справедливо неравенство: хn³b. Покажем, что а³b,
где а= lim xn
n®¥. Предположим, что это не так и a<b. Зафиксируем e=b – a >0. Тогда по опред. 2 предела послед-сти, начиная с некоторого номера справедливо неравенство:
| хn -а|<e
| хn -а|< b-a
-(b-a)< хn- а<b-a. Отсюда хn<b, что противоречит условию теоремы. Предположим а<b неверно, т.е. а³b, что и требовалось доказать. Замечание: Возможно ситуация, когда хn>b, а предел а=b.
Следствие1: Пусть {хn} и {yn}-сходящ. Послед-сти, причем, начиная с некоторого номера.
хn ³ yn (хn £ yn)
Тогда lim xn ³ lim yn (lim xn £ lim yn)
n®¥ n®¥ n®¥ n®¥. Следствие2: Если все элементы послед-сти xn принадлежат отрезку [а,b], то и предел с послед-стью {хn} принадлежит этому же отрезку. Т.е. а£ хn£ b, то а£ С £ b, где С= lim xn
n®¥
Теорема 2. («о двух милиционерах»)- без док-ва!!
Пусть послед-сти {хn} и {zn} сходятся к одному и тому же числу а. Пусть далее, начиная с некоторого номера, элементы послед-сти yn удовлетворяет нер-ву: хn£ yn£ zn.
Тогда послед-сть {yn} сходится и имеет предел а.
8) Монотонные последовательности, теорема (признак ВЕЙЕРШТРАССА) о сходимости монотонных ограниченных послед-стей (без док-ва).
Определение. Последовательность {хn} наз. Неубывающей(невозрастающей), если каждый последующий элемент этой послед-сти не меньше(не больше) предыдущего: хn+1 ³ хn -неубывающая монотонная послед-сть (хn+1 £ хn- невозрастающая монотонная послед-сть.)
Если неравенства строгие, т.е. хn+1 > хn – возрастающая строго монотонная посл-сть
(хn+1 < хn-убывающая строго монотонная посл-сть)
Теорема(признак ВЕЙЕРШТРАССА): Если неубывающая послед-сть ограничена сверху, то она сходится, если невозрастающая посл-сть ограничена снизу, то она сходится Þ если монотонная посл-сть ограничена, то она сходится.
9) Бином Ньютона, предел последовательности (1 + 1/n)n (/-знак деления), число е.
(а + b)n=an + n · an-1 · b +n(n+1)/2! · an-2 · b2 + n(n-1)(n-2)/3! · an-3 · b3 +…+ n(n-1)(n-2) … …(n-k+1)/k!· an-k · bk +…+bn (1)
R!=1·2·3…R (!-факториал)
(По определению 0!=1).
Биномиальный коэффициент.
СnR-степень= n(n-1)…(n-k+1)/k!=n!/k!(n-k)!
При k=n, коэффициент при bn n(n-1)…(n-k+1)/k! = n(n-1)(n-2)…(n-n+1)/n! = n!/n! = 1
k=n
Формула Бинома Ньютона при а=1, b=х
(1+х)n= 1+nх+ n(n-1)/2!·х2 + n(n-1)(n-2)/3! · х3 + хn (2)
Рассм. Послед-сть xn =(1+1/n)n
Покажем, что эта послед-сть: 1)возрастает,2)ограничена сверху Þ по признаку Вейерштрасса сходятся.
Применим к xn формулу (2): xn=(1+1/n)n=1+n · 1/n + n(n-1)/2! ·1/n2 + n(n-1)(n-2)/3! · 1/n3 +…+
+ n(n-1)(n-2)…(n-(n-1))/n! · 1/n3=2+1/2!(1-1/n)+ 1/3!(1-1/n)(1-2/n)+…+1/n!(1-1/n)(1-2/n)…
(1- (n-1)/n)
Аналогично записывается формула для хn+1. Сумма для хn+1 содержит на одно положительное слагаемое больше: хn+1 > хn-возрастающая. Можно показать, что 2< хn<3- ограничена сверху.
Т.к. послед-сть {хn} возрастает и ограничена сверху, то она сходится, причем:
lim(1 + 1/n)n=e (определение числа е [е»2,71828..])
n®¥
