Уравнение колебаний для математического маятника можно вывести, используя уравнение динамики вращательного движения.

Проведём ось Zчерез точку подвеса перпендикулярно плоскости колебаний маятника, тогда момент инерции материальной точки относительно осиZ: , момент импульса точки направлен вдоль осиZ, а момент силы тяжести (плечо силы тяжести относительно оси равно ) направлен против осиZ.

Закон вращательного движения точки вокруг оси Z: или .§

П ример. Найдем период колебаний физического маятника - тела массы m, которое может совершать колебания под действием силы тяжести (инерции) вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Решение. Проведем из центра масс телаCперпендикуляр к оси вращенияz. Пусть длина этого перпендикуляра равна l.

Положение тела зададим углом отклонения jот вертикали этого перпендикуляра. При этом если уголjувеличивается (тело поворачивается против часовой стрелки), то вектор момента импульса направлен вдоль горизонтальной осиzна нас. Момент внешней силы тяжести относительно осиzнаправлен от нас. Рассмотрим проекции на осьz: , .

Уравнение вращения вокруг оси z: или .

Если выполняется условие малости колебаний: , то уравнение колебаний примет вид:

.

С учетом выражения для циклической частоты получаем выражение для периода колебаний физического маятника: .

Приведённой длиной физического маятника называется длина математического маятника с таким же периодом:

, , .§

Замечание. Как показано в последних двух примерах, уравнения колебаний можно получить, вводя обобщённую координату - угол и обобщённую квазиупругую силу – момент силы тяжести.

Энергия и импульс гармонического осциллятора.

Пусть задан закон движения осциллятора: .

Среднее значение (по времени) некоторой величины u (t) за интервал времени (t ₁, t ₂) – это такое постоянное значение , для которого выполняется равенство:

, поэтому .

Так как колебания незатухающие, то они продолжаются бесконечно долго, поэтому средние значения надо искать на бесконечном интервале: t ₂®+¥.

1) Найдем среднее значение проекции импульса для колебательного движения:

.

,

(так для любыхj).

2) Найдём среднее значение кинетической энергии: .

.

Так как для любыхj, то .

3) Найдём среднее значение потенциальной энергии: .

,

.

С учетом соотношения получаем, что .

4) Найдём среднее значение механической энергии осциллятора:

.

Как и следовало ожидать, полная механическая энергия осциллятора остается постоянной.

Фазовая плоскость.

Фазовой плоскостью называется двумерное пространство, координатами в котором являются координата точки и проекция импульса (соответственно, обобщённая координата и обобщённый импульс).

Д ля пружинного маятника из закона сохранения энергии:

следует, что фазовая траектория точки, совершающей свободные незатухающие колебания, является эллипсом. Покажем это:

, ,

где главные полуоси эллипса равны: , .

Замечание. В случае если система состоит из N осцилляторов, то фазовое пространство имеет размерность 2 N.

Векторная диаграмма.

Р ассмотрим радиус-вектор точки М, вращающейся вокруг начала координат с постоянной угловой скоростьюw. Угол между радиус-вектором и осью Х меняется с течением времени по закону: , гдеj₀– его начальное значение. Пусть длина радиус-вектораúОМê=А. Координаты точки М:

,

описывают колебания осцилляторов вдоль осей XиY.

Данная форма представления колебаний называется амплитудной (векторной) диаграммой.

Рассмотрим сложение двух колебаний одного направления: пусть два осциллятора совершают колебания вдоль оси Х с циклическими частотамиw₁иw₂:

и .

Зададим эти колебания на векторной диаграмме с помощью векторов.

1-е колебание задаётся вектором , который вращается вокруг начала координат с постоянной угловой скоростьюw₁, угол вращения меняется по закону: .

2 -е колебание задаётся вектором , соответственно, угол .

Тогда результирующему колебанию сопоставим вектор с фазой .

По теореме косинусов:

.

Учтем, что ,

, тогда

,

или .

Соответственно, .

Остановимся подробнее на двух частных случаях.

1) Пусть , . Тогда .

Амплитуда результирующего колебания в этом случае не зависит от времени.

Если разность начальных фаз колебаний , где n – целое число, то и наблюдается усиление колебаний: .

Если разность начальных фаз колебаний , где n – целое число, то и колебания гасят друг друга: .

Для вывода зависимости результирующего колебания воспользуемся соотношением:

, тогда с учётом чётности функции косинуса имеем:

.

Амплитудой должно быть выражение, не зависящее от времени, но амплитуда не может быть отрицательной величиной, следовательно:

, тогда

.

Если , то , если то .

2) Рассмотрим случай, когда амплитуды одинаковые: , но частоты отличаются на небольшую величину: , , . Для упрощения примем, что и . Аналогично предыдущему случаю, получаем:

.

Пренебрегая в выражении для фазы второго сомножителя величиной по сравнению с величинойw, получаем:

.

Если , то , но если , то .

Т аким образом, при сложении колебаний близких частот возникает периодическое изменение амплитуды и скачкообразное изменение фазы результирующего колебания – явление, которое называется биением.