Рассмотрим одномерное движение тела под действием консервативной силы вдоль оси X. Для потенциальной энергии тела вблизи некоторой точки x 0 можно записать выражение
Потенциальная энергия и вектор консервативной силы связаны соотношением:
,
откуда для проекции силы на ось Xполучаем: 
, т.е.
.
Д 
алее будем предполагать, что точка x0 является положением равновесия, поэтому должно выполняться условие 
, тогда для изменения потенциальной энергии вблизи точки x 0имеем: 
и для проекции силы: 
.
Рассмотрим случай, когда в точке x 0наблюдается локальный минимум потенциальной энергии. Тогда 
и существует некоторая окрестность точкиU(x 0), для которой выполняется условие 
и 
при 
, 
при 
, то есть в этой окрестности вектор силы, действующей на тело, будет направлен к точке x 0. А это значит, что при малых смещениях тела из положения равновесия, сила будет стремиться вернуть тело обратно. Такое положение равновесия называется устойчивым.
Положение равновесия называется неустойчивым, если при малом отклонении от этого положения возникает сила, стремящаяся увести тело от положения равновесия. Очевидно, в этом случае в точке x 0 наблюдается локальный максимум потенциальной энергии 
.
В случае, когда 
требуется дополнительное исследование.
Итак, выражение для консервативной силы вблизи положения устойчивого равновесия можно записать в векторной форме: 
, а величину потенциальной энергии 
+const, где 
. Такая форма записи для консервативной силы вблизи точки равновесия называется квазиупругой силой.
Запишем второй закон Ньютона для тела, движущегося под действием квазиупругой силы вблизи точки устойчивого положения равновесия:
, где 
.
Введём ось Х так, чтобы 
, тогда уравнение движения примет вид: 
. С учётом зависимости 
это уравнение примет вид: 
или
,
где 
. Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
Решением этого уравнения являются гармонические функции от времени t:
или 
,
описывающие смещение тела от положения равновесия (точка 
).
Замечание. Обе формы записи равноправны. Например, одна переходит в другую при 
.
Так как гармонические функции синус и конус имеют период 2p, то параметры процесса будут повторяться через минимальный промежуток времени Т, называемый периодом:
.
Таким образом, уравнение
описывает колебательный процесс, параметры которого не изменяются с течением времени. Этот процесс принято называть свободными незатухающими колебаниями.
Учитывая, что величина 
называется частотой колебаний (единица измерения Гц - Герц), то величину 
называют круговой или циклической частотой колебаний (единица измерения с-1).
Величина А – амплитуда колебаний- это модуль максимального смещения. По определению A > 0 – всегда положительная величина. Аргумент гармонической функции 
называется фазой колебания, а величина a называется начальной фазой колебаний - это фаза колебаний в момент времени t = 0, который обычно называют начальным моментом времени.
В этом колебательном процессе с течением времени сохраняется величина механической энергии: 
. Действительно:
.
