Образец выполнения типового расчета

по разделу «Дифференциальные уравнения»

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Ответ представить

в виде (x,y)=C.

а) , ,

Решение. Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение, вынося общий множитель слева : .

Разделим правую и левую части равенства на произведение множителей, стоящих не у своих дифференциалов, т.е. на :

, или , или .

Проинтегрируем обе части последнего равенства: , или , или , откуда - общий интеграл данного уравнения.

Решение. Имеем однородное дифференциальное уравнение вида . Полагаем тогда или

Почленно интегрируя последнее равенство, получим Так как , то общий интеграл имеет вид

2. Найти решение задачи Коши

а) , если при .

Решение. Разделив все члены данного уравнения на , приведем его к виду

Имеем линейное уравнение вида . Здесь , .

Решим уравнение методом Бернулли. Положим , откуда .

Подставим эти значения в уравнение: Сгруппируем члены, содержащие, например , и вынесем за скобку: .

Выберем функцию так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда дифференциальное уравнение разобьется на два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными:

Решаем уравнение (1) при : , . Интегрируя почленно обе части равенства, имеем: , или ,или . Подставим это значение в уравнение (2): или .

Интегрируя почленно, имеем: или .

Заменив в подстановке функции и их выражениями из равенств (1) и (2), получим искомое общее решение данного уравнения:

, или .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным данным при . Для этого подставим в найденное общее решение начальные условия: Получим или .

Искомое частное решение данного уравнения имеет вид .

Замечание. Искомое решение уравнения можно найти методом Лагранжа.

Соответствующее однородное уравнение есть или .

Разделяя переменные, получим , откуда или

Это решение однородного уравнения.

Считая С функцией от x, дифференцируя, находим

Подставляя y и в исходное дифференциальное уравнение получаем или . Откуда .

Отсюда получаем выражение С через x:

Итак, общее решение уравнения будет или .

b) при , .

Решение. Составим характеристическое уравнение .

Найдем корни полученного квадратного уравнения: , откуда и . Так как корни действительные и , то общее решение имеет вид . Подставляя найденные значения и в формулу общего решения, имеем: .

Дифференцируя общее решение, получим

Согласно заданным начальным условиям имеем

, или ,

или , или , откуда

и . Таким образом, искомым частным решением является функция .

С) , если

Решение. Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде аргумента х, т.е. имеет вид . Примем в качестве независимой переменной y и выполним замену Тогда . Исходное уравнение примет вид:

. После сокращения на имеем: . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: или ,

откуда . Заменим на : , которое является уравнением с разделяющимися переменными: или . Получили общий интеграл для исходного дифференциального уравнения. Для решения задачи Коши, подставим в него и в выражение для значения :

Подставляя полученные значения констант в общий интеграл имеем решение задачи Коши: .

3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

а)

Решение. Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде y, т.е. имеет вид . Выполним замену . Тогда исходное уравнение примет вид:

. Разделим переменные: . Проинтегрируем:

. Общий интеграл имеет вид или

или .

Теперь вернемся к прежней неизвестной функции y. Так как то или .

Интегрируя, получаем общий интеграл .

Решение. Общее решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения , – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение имеет корни откуда общее решение однородного уравнения имеет вид:

Частное решение подбираем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид первого типа , т.к. . Корень не является корнем характеристического уравнения, не имеет кратности. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде Для определения неизвестных коэффициентов А, В и С находим:

, .

Подставляя , и в исходное дифференциальное уравнение, получаем равенство: или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему

из которой находим

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

в).

Решение. Общее решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения , – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение имеет корни , откуда общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение подбираем методом неопределенных коэффициентов.

Правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид второго типа , так как , где . Здесь Комплексные числа являются корнями характеристического уравнения и имеют кратность r=1. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

или

Для определения неизвестных коэффициентов А₁, В₁, А₂ и В₂ подставляем , и в исходное дифференциальное уравнение, получаем равенство:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему

Из системы находим так что

Общее решение исходного уравнения есть

4. Найти функцию, график которой обладает тем свойством, что отрезок любой касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть – искомая функция, а – произвольная точка кривой, определяемой этим уравнением. Предположим, для определенности, что кривая расположена в первой четверти (см. рис). По условию задачи имеем , следовательно, . Из рис. видно, что , т.е. , или .