Раздел 8. Дифференциальные уравнения

Решение примеров типового варианта

 

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Ответ представить в виде (x,y)=C.

а) , ,

Решение. Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение, вынося общий множитель слева : .

Разделим правую и левую части равенства на произведение множителей, стоящих не у своих дифференциалов, т.е. на :

, или , или .

Проинтегрируем обе части последнего равенства: , или , или , откуда - общий интеграл данного уравнения.

2. Найти решение задачи Коши

а) , если при .

Решение. Разделив все члены данного уравнения на , приведем его к виду

Имеем линейное уравнение вида . Здесь , .

Решим уравнение методом Бернулли. Положим , откуда .

Подставим эти значения в уравнение: Сгруппируем члены, содержащие, например , и вынесем за скобку .

Выберем функцию так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда дифференциальное уравнение разобьется на два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными:

Решаем уравнение (1) при : , .Интегрируя почленно, имеем:

, или ,или . Подставим это значение в уравнение (2): или .

Интегрируя почленно, имеем: или .

Заменив в подстановке функции и их выражениями из равенств (1) и (2), получим искомое общее решение данного уравнения:

, или .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным данным при . Для этого подставим в найденное общее решение начальные условия: Получим или .

Искомое частное решение данного уравнения имеет вид .

Замечание. Искомое решение уравнения можно найти методом Лагранжа.

Соответствующее однородное уравнение есть или .

Разделяя переменные, получим , откуда или

Это решение однородного уравнения.

Считая С функцией от x, дифференцируя, находим

Подставляя y и в исходное дифференциальное уравнение получаем или . Откуда .

Отсюда получаем выражение С через x:

Итак, общее решение уравнения будет или .

b) при , .

Решение. Составим характеристическое уравнение .

Найдем корни полученного квадратного уравнения: , откуда и . Так как корни действительные и , то общее решение имеет вид . Подставляя найденные значения и в формулу общего решения, имеем: .

Дифференцируя общее решение, получим

.

Согласно заданным начальным условиям имеем

, или ,

или , или , откуда

и . Таким образом, искомым частным решением является функция .

3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

b)

Решение. Общее решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения , – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение имеет корни откуда общее решение однородного уравнения имеет вид:

Частное решение подбираем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид первого типа , т.к. . Корень не является корнем характеристического уравнения, не имеет кратности. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде Для определения неизвестных коэффициентов А, В и С находим:

, .

Подставляя , и в исходное дифференциальное уравнение, получаем равенство: или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему

из которой находим

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

.

в).

Решение. Общее решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения , – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение имеет корни , откуда общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение подбираем методом неопределенных коэффициентов.

Правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид второго типа , так как , где . Здесь Комплексные числа являются корнями характеристического уравнения и имеют кратность. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

или

Для определения неизвестных коэффициентов А₁, В₁, А₂ и В₂ подставляем , и в исходное дифференциальное уравнение, получаем равенство:

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему

Из системы находим так что

Общее решение исходного уравнения есть