ЗАНЯТИЕ 4. Уравнения в полных дифференциалах.

Ауд.

Л-3

гл.10: № 96, 98, 100, 102, 104, 149, 154,171,187.

☺ ☻ ☺

Пример 1 – 96: Решить дифференциальное уравнение: (2 x + y) dx +(x +2 y) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). Проверим выполнение условия: = . Если условие выполняется, то заданное уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = : u (x, y)= + φ(y), (1)

где φ(y) отражает ту часть функции u (x, y), которая была «уничтожена» при дифференцируемости по переменной х.

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: + φ′(y)= N (x, y). (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– . (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= . (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + +С. (5)

3). В нашем случае: =1 и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= + φ(y)= x ²+ xy +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x ²+ xy)+φ′(y)= x +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– x =(x +2 y) – x =2 y. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= = y ². (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = x ²+ xy + y ²= С. (5)

Ответ: u (x, y)= x ²+ xy + y ²= С – общее решение.

Пример 2 – 98: Решить дифференциальное уравнение: (3 x ²+6 xy –2 y ²) dx +(3 x ²–4 xy –3 y ²) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =6 x –4 y и =6 x –4 y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= +φ(y)= x ³+3 x ² y –2 xy ²+φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x ³+3 x ² y –2 xy ²)+φ′(y)=3 x ²–4 xy +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– x =(3 x ²–4 xy –3 y ²)–(3 x ²–4 xy)=–3 y ². (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= =– y ³. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = x ³+3 x ² y –2 xy ²– y ³= С. (5)

Ответ: u (x, y)= x ³+3 x ² y –2 xy ²– y ³= С – общее решение.

Замечание: 1). Пример интересен тем, что заданное ДУ можно отнести и к однородным уравнениям: функции М (x, y) и N (x, y) – обе однородные, порядка 2. Если «попробовать» решать его по схеме однородного уравнения, то трудоёмкость «процесса» возрастет в разы: f (u)– u = – u = → J = .

2). Ещё бо′льшим будет «интерес», если обратить внимание на «ситуацию» возможного равенства: f (u)– u =0. По основной теореме алгебры мы получим (!) три корня: u = u ₁, u = u ₂, u = u ₃ → получаем дополнительно три решения ДУ:

y = u ₁ x; y = u ₁ x; y = u ₁ x – прямые, проходящие через начало координат.

3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!

Пример 3 – 100: Решить дифференциальное уравнение: dx – dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = – и = – → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= +φ(y)= + +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: +φ′(y)= –2 – +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)+2 + =2. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= =2 y. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = + +2 y = С. (5)

Ответ: u (x, y)= + +2 y = С – общее решение.

Пример 4 – 102: Решить дифференциальное уравнение: (2 x – y∙e^–x) dx + e^–xdy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = – e^–x и = – e^–x → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= +φ(y)= x ²+ y∙e^–x +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x ²+ y∙e^–x)+φ′(y)= e^–x +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– e^–x =0. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= =C. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = x ²+ y∙e^–x =С. (5)

Ответ: u (x, y)= x ²+ y∙e^–x =С – общее решение.

Пример 5 – 104: Решить дифференциальное уравнение: 2 x∙ cos² ydx +(2 y – x ² sin 2 y) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =–2 x∙sin 2 y и =–2 x∙sin 2 y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= +φ(y)= x ²cos² y +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x ²cos² y)+φ′(y)=– x ² sin2y +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– x ² sin 2 y =2 y. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= = y ². (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = x ²cos² y + y ²=С. (5)

Ответ: u (x, y)= x ²cos² y + y ²=С – общее решение.

Пример 6 – 149: Решить дифференциальное уравнение: (2 x ³– xy ²) dx +(2 y ³– x ² y) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =–2 xy и =–2 xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= +φ(y)= x ⁴– x ² y ²+φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x ⁴– x ² y ²)+φ′(y)= x ² y +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– x ² y =2 y ³. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= = y ⁴. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = x ⁴– x ² y ²2 xy ²+ y ⁴= С. (5)

Замечание: Для упрощения записи общего решения умножили на 2 (!).

Ответ: u (x, y)= x ⁴– x ² y ²2 xy ²+ y ⁴= С – общее решение.

Пример 7 – 154: Решить дифференциальное уравнение: (2 x + lny) dx + dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = и = → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= +φ(y)= x ²+ x ∙ lny +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x ²+ x ∙ lny)+φ′(y)= +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– = siny. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= = – cosy. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = x ²+ x ∙ lny – cosy = С. (5)

Ответ: u (x, y)= x ²+ x ∙ lny – cosy = С – общее решение.

Пример 8 – 171: Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если для любого отрезка [1, x ] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше отношения абсциссы x концевой точки к ординате y.

Решение:

Замечание: а). При решении задачи используется производная интеграла по верхнему «переменному пределу»;

б). Необходимо отметить «безразличие» решения к «числу 2».

1) Составим «интегральное» уравнение:

= +2. (1)

2). Дифференцируя (1), получаем дифференциальное уравнение:

y = – x y ′, или y ′– y =– y ³. (2)

3). Уравнение (2) – уравнение Бернулли для n =3. Алгоритм решения стандартный:

a ⁰. Примем: z = y ^–n+1, где (– n +1)= –2; то есть: z = y ^–2.

a ¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′ +2 z =2 . (3)

a ². Решение уравнения ищем в виде: функцию z = u (x)∙ v (x);

a ³. Вычислим интеграл: – =–2 =–ln x ² → u = = .

a ⁴. Вычислим функцию v: v = = 2 +С= x ² +С;

a ⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z = u ∙ v = ∙(x ² +С). (4)

a ⁶. Учитывая: z = y ^–2, запишем общее решение для (1): y ^–2= ∙(x ² +С), или (удобнее для использования): y ²= .

a ⁷. Учитывая начальные условия, запишем частное решение: .

Ответ: y ²= – общее решение уравнения. Частное решение: .

Замечание: решение y=0 в нашем случае «геометрически неинтересное», потому в ответе не отмечено.

Пример 8 – 187: Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры Т от времени t, если тело, нагретое до Т ₀ градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам.

Решение:

Замечание: рисунок «мотивирует» решение задачи, а также «намекает», что охлаждение тела происходит за счет «молекулярного взаимодействия» тела и среды: подвеска тела к потолку на тонкой нити с минимальной теплопроводностью.

1). Из условия задачи следует дифференциальное уравнение:

=– k (T – a). (1)

2). Уравнение (1) – ДУ с разделяющимися переменными. Его стандартная форма записи:

=– kdt. (2)

3). В результате интегрирования уравнения (2) получаем общее решение задачи:

T = a+Ce ^{– kt} . (3)

4). Учитывая начальные условия, получаем частное решение задачи:

T = a+ (Т ₀– a) e ^{– kt} . (4)

Ответ: T = a+Ce ^{– kt} – общее решение уравнения. Частное решение: T = a+ (Т ₀– a) e ^{– kt} .

 

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома

Л-3

гл.10: № 97, 99,101,103,105,143,181,188.

Пример 1 – 97: Решить дифференциальное уравнение: (10 xy –8 y +1) dx +(5 x ²–8 x +3) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =10 x –8и =10 x –8 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= +φ(y)=5 x ² y –8 xy + x +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (5 x ² y –8 xy + x)+φ′(y)=5 x ²–8 x +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)–5 x ²+8 x =3. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= =3 y. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + =5 x ² y –8 xy + x +3 y = С. (5)

Ответ: u (x, y)= 5 x ² y –8 xy + x +3 y = С – общее решение.

Пример 2 – 99: Решить дифференциальное уравнение: dx + dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =1и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= +φ(y)= xy –2 +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: +φ′(y)= x +φ′(y)= N (x, y); (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– x = – x =– . (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= +С=3 . (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = xy –2 +3 = С. (5)

Ответ: u (x, y)= x ³+3 x ² y –2 xy ²– y ³= С – общее решение.

Пример 3 – 101: Решить ДУ: dx + dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =1+ xy и =1+ xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= + φ(y)= + +φ(y)= + xy +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: ( + xy)+φ′(y)= x – +φ′(y)= N (x, y). (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– x + = . (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)= +С=– . (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = + xy – = С. (5)

Ответ: u (x, y)= + xy – = С – общее решение.

Пример 4 – 103: Решить ДУ: (2 x+ ) dx +(1– )∙ dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =– ∙ и =– ∙ → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= +φ(y)= + +φ(y)= x ²+ y +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x ²+ y )+φ′(y)= – +φ′(y)= N (x, y). (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)– (1– )∙ =0. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)=С. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = x ²+ y = С. (5)

Ответ: u (x, y)= x ²+ y = С – общее решение.

Пример 5 – 105: Решить ДУ: (siny – ysinx+ ) dx +(xcosy + cosx – )∙ dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: = cosy – sinx и = cosy – sinx → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= +φ(y)= – + +φ(y)=

= xsiny + ycosx + ln | x |+φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (xsiny + ycosx + ln | x |)+φ′(y)= xcosy + cosx +φ′(y)= N (x, y). (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)–(xcosy + cosx)= – . (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)=– ln | y |. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = xsiny + ycosx + ln | x |– ln | y |= С. (5)

Ответ: u (x, y)= xsiny + ycosx + ln | |= С – общее решение.

Пример 6 – 143: Решить ДУ: (xcos 2 y+ 1) dx – x ²∙ sin 2 y ∙ dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.

Решение:

1). В нашем случае: =–2 x ∙ sin 2 y и =–2 x ∙ sin 2 y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.

2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:

a ⁰. Находим первообразную функции М = :

u (x, y)= +φ(y)= +φ(y)= x ² cos 2 y + x +φ(y). (1)

a ¹. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: ( x ² cos 2 y + x)+φ′(y)= – x ²∙ sin 2 y +φ′(y)= N (x, y). (2)

a ². Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):

φ′(y)= N (x, y)+ x ²∙ sin 2 y =0. (3)

a ³. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):

φ(y)=C. (4)

a ⁴. Запишем общее решение заданного уравнения:

u (x, y)= + = x ² cos 2 y + x = С. (5)

Ответ: u (x, y)= x ² cos 2 y + x = С – общее решение.

Пример 7 – 181: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью ОХ равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.

Решение:

Замечание: 1). При составлении дифференциального уравнения необходимо учесть возможные варианты названного в условии равенства: 2| OM |² = | x∙ON |.

2). Для лучшего восприятия задачи воспользуемся рисунком: отрезки ОМ, ОN и абсцисса точки М выделены красным цветом.

Итак, через некоторую точку М (x, y) плоскости OXY проходит кривая y =(y) со свойством:

▪ Случай-1: 2(x ²+ y ²)= x∙ (x + yy ′); (1)

▪ Случай-2: 2(x ²+ y ²)=– x∙ (x + yy ′). (2)

Случай-1.

1). Из условия запишем: y ′ = = +2 – однородное дифференциальное уравнение для нахождения кривой с заданными свойствами. Остается решить это уравнение!

2). Применим стандартный алгоритм решения задачи:

a ¹. Исходная запись ДУ решений не дает.

a ². Примем = u; получим: φ(u)=f (u)– u = + 2 u – u = +u = .

a ³. Проверим условие: φ (u₀) = f (u₀)– u₀ =0. Дополнительных решений не получим.

a ⁴. Учитывая, что теперь f(u) – u≠ 0, запишем ДУ в виде (1): 2 =2 . (3)

a ⁵. Интегрируем уравнение (3): ln(u ²+1)= ln Cx ² → u ²+1= Cx ².

a ⁶. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что , получаем: y ²= x ²(Cx ²–1).

a ⁷. Записываем частное решение ДУ, учитывая что интегральная кривая должна пройти через точку (1,2) → С=5: получаем: y ²= x ²(5 x ²–1).

Случай-2.

1). Из условия запишем: y ′ =– =–3 –2 – однородное дифференциальное уравнение для нахождения кривой с заданными свойствами. Остается решить это уравнение!

2). Применим стандартный алгоритм решения задачи:

a ¹. Исходная запись ДУ решений не дает.

a ². Примем = u; получим: φ(u)=f (u)– u = + 2 u – u =–3 –3 u =–3 .

a ³. Проверим условие: φ (u₀) = f (u₀)– u₀ =0. Дополнительных решений не получим.

a ⁴. Учитывая, что теперь f(u) – u≠ 0, запишем ДУ в виде (1): –6 =2 . (3)

a ⁵. Интегрируем уравнение (3): –3ln(u ²+1)= ln Cx ² → u ²+1= C .

a ⁶. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что , получаем: y ²= x ²(C –1).

a ⁷. Записываем частное решение ДУ, учитывая что интегральная кривая должна пройти через точку (1,2) → С=5: получаем: y ²= x ²(5 –1).

Ответ: Случай-1: y ²= x ²(Cx ²–1).– общее решение ДУ, частное решение: y ²= x ²(5 x ²–1).

Случай-2: y ²= x ²(C –1).– общее решение ДУ, частное решение: y ²= x ²(5 –1)

Замечание: задачние «зевнул» второе решение!

Пример 8 – 188: Через сколько времени температура тела, нагретого до 100⁰С, понизится до 25⁰С, если температура помещения равна 20⁰С и за первые 10 мин тело охладилось до 60⁰С?

Решение:

Замечание: задача интересна «физической стороной» вопроса: физик использует общее решение для определения характеристик остывания конкретного тела в заданных условиях! Общее решение задачи нами получено в Примере 8 – 187: T = a+ (Т ₀– a) e ^{– kt} . (2)

1). Из условия задачи следует: Т ₀– a =80⁰С, Т – a =40⁰С, t =10 мин.

2). Из уравнения (1) следует: (e ^{– k} )¹⁰ =0.5 → (e ^{– k} )= .

3). Теперь имеем: Т – a =75⁰С =() ^t, или () ^t = → t ≈40 мин.

Ответ: t ≈ 40 мин.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют ДУ в полных дифференциалах?

2. Как определить, что данное уравнение есть ДУ в полных дифференциалах?

3. Каков «стандартный алгоритм» решения ДУ в полных дифференциалах?

4. Что такое «интегрирующий множитель уравнения»?

5. Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.

6. Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.

< * * * * * >