| Ауд. | Л-3 | гл.10: № 96, 98, 100, 102, 104, 149, 154,171,187. |
☺ ☻ ☺
Пример 1 – 96: Решить дифференциальное уравнение: (2 x + y) dx +(x +2 y) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). Проверим выполнение условия: 
= 
. Если условие выполняется, то заданное уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = 
: u (x, y)= 
+ φ(y), (1)
где φ(y) отражает ту часть функции u (x, y), которая была «уничтожена» при дифференцируемости по переменной х.
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: 
= N (x, y); это значит, что выполняется: 
+ φ′(y)= N (x, y). (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– . (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= 
. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + +С. (5)
3). В нашем случае: =1 и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+ φ(y)= x 2+ xy +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x 2+ xy)+φ′(y)= x +φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– x =(x +2 y) – x =2 y. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= = y 2. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = x 2+ xy + y 2= С. (5)
Ответ: u (x, y)= x 2+ xy + y 2= С – общее решение.
Пример 2 – 98: Решить дифференциальное уравнение: (3 x 2+6 xy –2 y 2) dx +(3 x 2–4 xy –3 y 2) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =6 x –4 y и =6 x –4 y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+φ(y)= x 3+3 x 2 y –2 xy 2+φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x 3+3 x 2 y –2 xy 2)+φ′(y)=3 x 2–4 xy +φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– x =(3 x 2–4 xy –3 y 2)–(3 x 2–4 xy)=–3 y 2. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= =– y 3. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = x 3+3 x 2 y –2 xy 2– y 3= С. (5)
Ответ: u (x, y)= x 3+3 x 2 y –2 xy 2– y 3= С – общее решение.
Замечание: 1). Пример интересен тем, что заданное ДУ можно отнести и к однородным уравнениям: функции М (x, y) и N (x, y) – обе однородные, порядка 2. Если «попробовать» решать его по схеме однородного уравнения, то трудоёмкость «процесса» возрастет в разы: f (u)– u = 
– u = 
→ J = 
.
2). Ещё бо′льшим будет «интерес», если обратить внимание на «ситуацию» возможного равенства: f (u)– u =0. По основной теореме алгебры мы получим (!) три корня: u = u 1, u = u 2, u = u 3 → получаем дополнительно три решения ДУ:
y = u 1 x; y = u 1 x; y = u 1 x – прямые, проходящие через начало координат.
3). Рассмотренная ситуация подсказывает будущему инженеру: в ответственных случаях желательно получить решение несколькими возможными способами!
Пример 3 – 100: Решить дифференциальное уравнение: 
dx – 
dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: = – 
и = – → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+φ(y)= 
+ 
+φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: 
+φ′(y)= –2 
– 
+φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)+2 + =2. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= =2 y. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = + +2 y = С. (5)
Ответ: u (x, y)= + +2 y = С – общее решение.
Пример 4 – 102: Решить дифференциальное уравнение: (2 x – y∙e–x) dx + e–xdy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: = – e–x и = – e–x → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+φ(y)= x 2+ y∙e–x +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x 2+ y∙e–x)+φ′(y)= e–x +φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– e–x =0. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= =C. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = x 2+ y∙e–x =С. (5)
Ответ: u (x, y)= x 2+ y∙e–x =С – общее решение.
Пример 5 – 104: Решить дифференциальное уравнение: 2 x∙ cos2 ydx +(2 y – x 2 sin 2 y) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =–2 x∙sin 2 y и =–2 x∙sin 2 y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+φ(y)= x 2cos2 y +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x 2cos2 y)+φ′(y)=– x 2 sin2y +φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– x 2 sin 2 y =2 y. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= = y 2. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = x 2cos2 y + y 2=С. (5)
Ответ: u (x, y)= x 2cos2 y + y 2=С – общее решение.
Пример 6 – 149: Решить дифференциальное уравнение: (2 x 3– xy 2) dx +(2 y 3– x 2 y) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =–2 xy и =–2 xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+φ(y)= 
x 4– x 2 y 2+φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x 4– x 2 y 2)+φ′(y)= x 2 y +φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– x 2 y =2 y 3. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= = y 4. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = x 4– x 2 y 22 xy 2+ y 4= С. (5)
Замечание: Для упрощения записи общего решения умножили на 2 (!).
Ответ: u (x, y)= x 4– x 2 y 22 xy 2+ y 4= С – общее решение.
Пример 7 – 154: Решить дифференциальное уравнение: (2 x + lny) dx + 
dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: = 
и = → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+φ(y)= x 2+ x ∙ lny +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x 2+ x ∙ lny)+φ′(y)= +φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– = siny. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= = – cosy. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = x 2+ x ∙ lny – cosy = С. (5)
Ответ: u (x, y)= x 2+ x ∙ lny – cosy = С – общее решение.
Пример 8 – 171: Найти уравнение кривой, проходящей через точку 
, если для любого отрезка [1, x ] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше отношения абсциссы x концевой точки к ординате y.
Решение:
Замечание: а). При решении задачи используется производная интеграла по верхнему «переменному пределу»;
б). Необходимо отметить «безразличие» решения к «числу 2».
1) Составим «интегральное» уравнение:
= +2. (1)
2). Дифференцируя (1), получаем дифференциальное уравнение:
y = – x 
y ′, или y ′– 
y =– y 3. (2)
3). Уравнение (2) – уравнение Бернулли для n =3. Алгоритм решения стандартный:
a 0. Примем: z = y –n+1, где (– n +1)= –2; то есть: z = y –2.
a 1. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′ +2 z =2 . (3)
a 2. Решение уравнения ищем в виде: функцию z = u (x)∙ v (x);
a 3. Вычислим интеграл: – 
=–2 
=–ln x 2 → u = 
= 
.
a 4. Вычислим функцию v: v = 
= 2 
+С= x 2 +С;
a 5. Запишем общее решение уравнения для (3): z = u ∙ v = ∙(x 2 +С). (4)
a 6. Учитывая: z = y –2, запишем общее решение для (1): y –2= ∙(x 2 +С), или (удобнее для использования): y 2= 
.
a 7. Учитывая начальные условия, запишем частное решение: 
.
Ответ: y 2= – общее решение уравнения. Частное решение: .
Замечание: решение y=0 в нашем случае «геометрически неинтересное», потому в ответе не отмечено.
Пример 8 – 187: Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры Т от времени t, если тело, нагретое до Т 0 градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам.
Решение:
Замечание: рисунок «мотивирует» решение задачи, а также «намекает», что охлаждение тела происходит за счет «молекулярного взаимодействия» тела и среды: подвеска тела к потолку на тонкой нити с минимальной теплопроводностью.
1). Из условия задачи следует дифференциальное уравнение:
=– k (T – a). (1)
2). Уравнение (1) – ДУ с разделяющимися переменными. Его стандартная форма записи:
=– kdt. (2)
3). В результате интегрирования уравнения (2) получаем общее решение задачи:
T = a+Ce – kt . (3)
4). Учитывая начальные условия, получаем частное решение задачи:
T = a+ (Т 0– a) e – kt . (4)
Ответ: T = a+Ce – kt – общее решение уравнения. Частное решение: T = a+ (Т 0– a) e – kt .
* * * * * * * * * *
Домашнее задание
| Дома | Л-3 | гл.10: № 97, 99,101,103,105,143,181,188. |
Пример 1 – 97: Решить дифференциальное уравнение: (10 xy –8 y +1) dx +(5 x 2–8 x +3) dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =10 x –8и =10 x –8 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+φ(y)=5 x 2 y –8 xy + x +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (5 x 2 y –8 xy + x)+φ′(y)=5 x 2–8 x +φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)–5 x 2+8 x =3. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= =3 y. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + =5 x 2 y –8 xy + x +3 y = С. (5)
Ответ: u (x, y)= 5 x 2 y –8 xy + x +3 y = С – общее решение.
Пример 2 – 99: Решить дифференциальное уравнение: 
dx + 
dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =1и =1 → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+φ(y)= xy –2 +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: 
+φ′(y)= x +φ′(y)= N (x, y); (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– x = – x =– 
. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= +С=3 . (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = xy –2 +3 = С. (5)
Ответ: u (x, y)= x 3+3 x 2 y –2 xy 2– y 3= С – общее решение.
Пример 3 – 101: Решить ДУ: 
dx + 
dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =1+ xy 
и =1+ xy → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= + φ(y)= 
+ 
+φ(y)= 
+ xy +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: ( + xy)+φ′(y)= x – 
+φ′(y)= N (x, y). (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– x + = 
. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)= +С=– . (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = + xy – = С. (5)
Ответ: u (x, y)= + xy – = С – общее решение.
Пример 4 – 103: Решить ДУ: (2 x+ 
) dx +(1– )∙ dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =– ∙ 
и =– ∙ → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= +φ(y)= 
+ 
+φ(y)= x 2+ y +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (x 2+ y )+φ′(y)= – +φ′(y)= N (x, y). (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)– (1– )∙ =0. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)=С. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = x 2+ y = С. (5)
Ответ: u (x, y)= x 2+ y = С – общее решение.
Пример 5 – 105: Решить ДУ: (siny – ysinx+ ) dx +(xcosy + cosx – )∙ dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: = cosy – sinx и = cosy – sinx → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= +φ(y)= 
– 
+ 
+φ(y)=
= xsiny + ycosx + ln | x |+φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: (xsiny + ycosx + ln | x |)+φ′(y)= xcosy + cosx +φ′(y)= N (x, y). (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)–(xcosy + cosx)= – . (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)=– ln | y |. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = xsiny + ycosx + ln | x |– ln | y |= С. (5)
Ответ: u (x, y)= xsiny + ycosx + ln | |= С – общее решение.
Пример 6 – 143: Решить ДУ: (xcos 2 y+ 1) dx – x 2∙ sin 2 y ∙ dy =0, предварительно убедившись, что оно является уравнением в полных дифференциалах.
Решение:
1). В нашем случае: =–2 x ∙ sin 2 y и =–2 x ∙ sin 2 y → условие = выполняется → задано уравнение в полных дифференциалах.
2). Далее решаем уравнение, применяя общий алгоритм:
a 0. Находим первообразную функции М = :
u (x, y)= +φ(y)= 
+φ(y)= x 2 cos 2 y + x +φ(y). (1)
a 1. Подберем φ(y) так, чтобы выполнялось условие: = N (x, y); это значит, что выполняется: ( x 2 cos 2 y + x)+φ′(y)= – x 2∙ sin 2 y +φ′(y)= N (x, y). (2)
a 2. Используя (2), запишем равенство для вычисления функции φ′(y):
φ′(y)= N (x, y)+ x 2∙ sin 2 y =0. (3)
a 3. Интегрируем (3) и окончательно «восстанавливаем» функцию u (x, y):
φ(y)=C. (4)
a 4. Запишем общее решение заданного уравнения:
u (x, y)= + = x 2 cos 2 y + x = С. (5)
Ответ: u (x, y)= x 2 cos 2 y + x = С – общее решение.
Пример 7 – 181: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью ОХ равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.
Решение:
Замечание: 1). При составлении дифференциального уравнения необходимо учесть возможные варианты названного в условии равенства: 2| OM |2 = | x∙ON |.
2). Для лучшего восприятия задачи воспользуемся рисунком: отрезки ОМ, ОN и абсцисса точки М выделены красным цветом.
Итак, через некоторую точку М (x, y) плоскости OXY проходит кривая y =(y) со свойством:
▪ Случай-1: 2(x 2+ y 2)= x∙ (x + yy ′); (1)
▪ Случай-2: 2(x 2+ y 2)=– x∙ (x + yy ′). (2)
Случай-1.
1). Из условия запишем: y ′ = 
= +2 
– однородное дифференциальное уравнение для нахождения кривой с заданными свойствами. Остается решить это уравнение!
2). Применим стандартный алгоритм решения задачи:
a 1. Исходная запись ДУ решений не дает.
a 2. Примем = u; получим: φ(u)=f (u)– u = 
+ 2 u – u = +u = 
.
a 3. Проверим условие: φ (u0) = f (u0)– u0 =0. Дополнительных решений не получим.
a 4. Учитывая, что теперь f(u) – u≠ 0, запишем ДУ в виде (1): 2 
=2 
. (3)
a 5. Интегрируем уравнение (3): ln(u 2+1)= ln Cx 2 → u 2+1= Cx 2.
a 6. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что 
, получаем: y 2= x 2(Cx 2–1).
a 7. Записываем частное решение ДУ, учитывая что интегральная кривая должна пройти через точку (1,2) → С=5: получаем: y 2= x 2(5 x 2–1).
Случай-2.
1). Из условия запишем: y ′ =– 
=–3 –2 – однородное дифференциальное уравнение для нахождения кривой с заданными свойствами. Остается решить это уравнение!
2). Применим стандартный алгоритм решения задачи:
a 1. Исходная запись ДУ решений не дает.
a 2. Примем = u; получим: φ(u)=f (u)– u = + 2 u – u =–3 –3 u =–3 .
a 3. Проверим условие: φ (u0) = f (u0)– u0 =0. Дополнительных решений не получим.
a 4. Учитывая, что теперь f(u) – u≠ 0, запишем ДУ в виде (1): –6 =2 . (3)
a 5. Интегрируем уравнение (3): –3ln(u 2+1)= ln Cx 2 → u 2+1= C 
.
a 6. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что , получаем: y 2= x 2(C –1).
a 7. Записываем частное решение ДУ, учитывая что интегральная кривая должна пройти через точку (1,2) → С=5: получаем: y 2= x 2(5 –1).
Ответ: Случай-1: y 2= x 2(Cx 2–1).– общее решение ДУ, частное решение: y 2= x 2(5 x 2–1).
Случай-2: y 2= x 2(C –1).– общее решение ДУ, частное решение: y 2= x 2(5 –1)
Замечание: задачние «зевнул» второе решение!
Пример 8 – 188: Через сколько времени температура тела, нагретого до 1000С, понизится до 250С, если температура помещения равна 200С и за первые 10 мин тело охладилось до 600С?
Решение:
Замечание: задача интересна «физической стороной» вопроса: физик использует общее решение для определения характеристик остывания конкретного тела в заданных условиях! Общее решение задачи нами получено в Примере 8 – 187: T = a+ (Т 0– a) e – kt . (2)
1). Из условия задачи следует: Т 0– a =800С, Т – a =400С, t =10 мин.
2). Из уравнения (1) следует: (e – k )10 =0.5 → (e – k )= 
.
3). Теперь имеем: Т – a =750С 
=() t, или () t = 
→ t ≈40 мин.
Ответ: t ≈ 40 мин.
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Как определяют ДУ в полных дифференциалах?
2. Как определить, что данное уравнение есть ДУ в полных дифференциалах?
3. Каков «стандартный алгоритм» решения ДУ в полных дифференциалах?
4. Что такое «интегрирующий множитель уравнения»?
5. Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.
6. Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.
< * * * * * >
