Неоднородные линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема наложения.
Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где 
и 
– константы, а 
– функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.
Если функция стоящая в правой части ур-ния представляется в виде суммы нескольких функций имеющих спец вид: f(x)=f1(x)+f2(x)+f3(x) то в этом случае y* это сумма частных решений
Пример:
y”-4y’+3y=3e^2x+xe^x
y”-4y’+3y=0
Л^24Л+3=0
Л1,2=4+- √(16-12)/2=(4+-2)/2
Л1=3;Л2=1
Y~=C1e^3x+C2e^x
a) f(x)=3e^2x f(x)=e^mx(P1(x)cosnx+P2(x)sinnx)
m=2 n=0
P1(x)=3_ Q1(x)=A1 Q2(x)=A2
m не=Л1,2_ k=0
k=0_ y*1=x^0e^2x(A1cos0+A2sin0)=A1e^2x
б) f(x)=xe^x m=1 n=0
P1(x)=x_ Q3(x)=A3x+B3 Q4(x)=A4x=B4
m=Л2 не=Л1_ k=1
y*2=x^1e^x((A3x+B3)cos0+(A4x+B4)sin0)=(A3x^2+B3x)e^x
y*=A1e^2x+(A3x^2+B3x)e^x
y*’=2A1e^2x+(2A3x+B3)e^x+(A3x^2+B3x)e^x=2A1e^2x+(2A3x+B3+A3x^2B3x)e^x
y*”=4A1e^2x+(2A3+2A3x+B3)e^x+(2A3x+B3+A3x^2+B3x)=
=4A1e^2x+(2A3+2A3x+B3+2A3x+B3+A3x^2+B3x)e^x=
=4A1e^2x+(A3x^2+4A3x+B3x+2A3+2B3)e^x
4A1e^2x+(A3x^2+4A3x+B3x+2A3+2B3)e^x-8A1e^2x-
-4(2A3x+B3+A3+A3x^2+B3x)e^x+3A1e^2x+3(A3x^2+B3x)e^x=3e^2x+xe^x |:e^x
4A1e^x+3x^2+4A3x+B3x+2A3+2B3-8A1e^x-8A3x-4B3-4A3x^2-
-4B3x+3A1e^x+3A3x^2+3B3x=3e^x+x-A1e^x-4A3x+2A3-2B3=3e^x+x
e^x: -A1=3_A=3
x^1: -4A3=1_A3=-1/4
x^0: 2A3-2B3=0 B3=A3=-1/4
y*=3e^2x+(-x^2/4-x/4)e^x=3e^2x-((x^2+x)/4)e^x
y=y~+y*
y=C1e^3x+C2e^x+3e^2x-((x^2+x)/4)e^x
10.Метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородных линейных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
В том случае если функция стоящая в правой части ур-ия не имеет спец вида
Находится общее решение частного ур-ия которое можно представить в виде y~=1y1+C2y2
Дальше C1 и С2 заменяются на функции от хy~=z1(x)y1+z2(x)y2 нужно подобрать функции таким образом чтобы решение однородного стало общим решением
Пример:
11.Линейные ДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Линейными ДУ порядка n называется ур-е вида:
a0y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+…+an-2y^’+an-1y’+any=7(x)
если правая часть такого ДУ равна 0 то ур-е однородн. Реш-ие неоднородн ищется как сумма общего решения однород и любого частного реш неоднород ур-ия y=y~+y* для y~
а0Л^n+а1Л^n-1+a2Л^n-2+…+an-2Л^2+an-1Л+an=0 уравнения должны получить n корней лямбда
Пример:
y”’+y’=cos^2x
y”’+y’=0
Л^3+Л=0
Л(Л^2+1)=0
Л1=0 Л2,3=+-i a=0 b==1
y~=C1^0x+C2e^0xcosx+C3e^0xsinx=C1+C2cosx+C3sinx
f(x)=cos2x f(x)=e^mx(P1(x)cosnx+P(x)sinnx)
m=0 n=2 m+-in=0+-2i не= 0+-i0 0+-i_ k=0
P1(x)=1 P2(x)=0 r=0_ Q1=A1 Q2=A2
y*=A1cos2x+A2sin2x
y*=A1cos2x+A2sin2x
y*’=-2A1sin2x+2A2cos2x
y*”=4A1cos2x-4A2sin2x
y*”’=8A1sin2x-8A2cos2x
8A1sin2x-8A2cos2x-2A1sin2x+2A2cos2x=cos2x
6A1sin2x-6A2cos2x=cos2x
Cos2x: -6A2=1 A2=-1/6
Sin2x: 6A1=0 A1=0
y*=-1/6sin2x
y=y~+y*
y=C1+C2cosx+C3sinx-1/6sin2x
Системы ДУ: основные определения. Нормальные системы ДУ. Метод исключения неизвестных.
Система состоящая из дифференц ур-ий называется системой ДУ, порядком системы называется наивысший из порядков ур-ий, входящих в систему. Решением системы ДУ называется любой набор функций, удовлетворяющий каждому из уравнений системы, обычно число таких наборов бесконечно, т к каждое ур-ие содержит набор произвольных констант. Нормальной системой ДУ называется система 1 порядка, не содержащая в правой части производных
нормальная система ДУ может быть заменена одним ДУ, порядок которого равен числу ур-ий системы
Пример:
dy/dx=-7y+z
dz/dx=-2y-5z y(0)=0 z(0)=1
d^2y/dx^2=7dy/dx+dz/dx
d^2y/dx^2=7dy/dx-2y5z
x=dy/dx+7y_ d^2y/dx^2=-7dy/dx-2y-5(dy/dx+7y)
y”=-7y’-2y-5y”-35y
y”+12y’+37y=0 однородн. Лин ДУ 2 поряд
y”+12y’+37y=0
Л^2+12Л+37=0
Л1,2=(-12+-√(144+148))/2=(-12+- √- 4)/2=(-12+-2i)/2=6+-i_
_ y=e^-6x(C1cosbx+C2sinbx)
z=(e^-6xC1cosx+C2sinx))’+7e^-6x(C1cosx+C2sinx)=
=-6e^-6x(C1cosx+C2sinx)+e^-6x(-C1sinx+C2cosx)+7
C1cosx+C2sinx= e^-6x(C1cosx+C2sinx)+e^-6x(-C1sinx+C2cosx)=
=e^-6x((C2-C1)sinx+(C1+C2)cosx)
y=e^-6x(C1cosx+C2sinx)
x=e^-6x((C2-C1)sinx+(C1+C2)cosx) общее решение
0=у^0(Сcos0+С2sin0)
1=e^0((C2-C1)sin0+(C1+C2)cos0)
0=C1
1=C1+C2_ C1=0 C2=1
y=e^-6xsinx
x=e^-6x(sinx+cosx) частное решение
