Постановка основных задач дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Лекция 1.

Основные понятия.

Пусть D – область n -мерного пространства Rⁿ точек х=(х₁,х₂,…,х_n), где n≥2.

Наиболее общее уравнение в частных производных k -порядка от n независимых переменных х₁,х₂,…,х_n можно записать в следующем виде

(1)

где k₁+ k₂+…+ k_n=k, u=u(х)=u(х₁,х₂,…,х_n) – неизвестная функция -заданная функция от своих аргументов.

D - область задания уравнения (1).

Примеры:

1. – уравнение 1-ого порядка;

2. – уравнение 2-ого порядка;

3. – уравнение 3-ого порядка.

Определение: Уравнение в частных производных называется уравнением k -ого порядка, если оно содержит, хотя бы одну частную производную k -го порядка и не содержит производных более высокого порядка.

Определение: Определенная в области D функция u(х)=u(х₁,х₂,…,х_n), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество по независимым переменным х₁,х₂,…,х_n _,называется классическим решением или просто решением дифференциального уравнения (1).

Если размерность пространства равна 2, то есть n=2, то в дальнейшим будем писать

Если n=3, то

Примеры:

1. Проверить, являются ли следующие функции:

а) ;

б) ;

решениями уравнения в области: x>0, y>0,,z>0.

Решение: 1) Вычислим u _x, u _y u _z.

Подставив в исходное уравнение, получим

Следовательно: функция в указанной области является решением данного уравнения.

2) Также найдем частные производные: u_x=yz; u_y=xz; u_z=xy и подставим в исходное уравнение:

при x>0,y>0,z>0.

Вывод: функция u=xyz не является решением исходного уравнения при x>0,y>0,z>0.

Дифференциальное уравнение в частных производных также, как и обыкновенное дифференциальное уравнение, в большинстве случаев имеет бесконечное множество частных решений, то есть определяет некоторое семейство функций, удовлетворяющих данному уравнению.

Совокупность таких функций образует общее решение дифференциального уравнения в частных производных.

Между общими решениями обыкновенного дифференциального уравнения и общими решениями дифференциального уравнения в частных производных имеется существенное различие.

Как известно, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения

, где у=у(х)

представляет собой семейство функций, зависящее от 2-х произвольных постоянных:

Пример:

, где С₁,С₂ – произвольные постоянные.

Для их нахождения достаточно задать начальное условие: например у(0)=0, . И получим С₁ =0, С₂ = .

Рассмотрим любое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменами х и у, не содержащей производной либо по х, либо по у.

Пусть

При вычисление считаем фиксированной (постоянной).

При фиксированной у исходное дифференциальное уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с искомой функцией u и независимой переменной х.

Пусть общее решение обыкновенного дифференциального уравнения определяется по формуле

Это решение содержит у как параметр и оно при постоянном С является решением исходного дифференциального уравнения.

Для того, чтобы полученная функция была решением исходного дифференциального уравнения в частных производных необходимо и достаточно, чтобы С было постоянным относительно х, то есть она может быть любой функций от у.

Тем самым получим наиболее общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, если поставим на место С произвольную функцию от у, например, :

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию из класса С(R) непрерывных функций.

Примеры:

Решение: перепишем данное уравнение в следующем виде:

и у рассмотрим как параметр.

Последнее уравнение представляет линейное уравнение первого порядка. Его общее решение

Тогда общее решение дифференциального уравнения в частных производных определяется по формуле

У дифференциальных уравнениях в частных производных более высоких порядков общее решение содержит произвольные функции, количество которых, вообще говоря, равно порядку уравнения.

Пример:

найти общее решение. Для этого представим в виде . Отсюда следует , где С₁(у) – произвольная непрерывная функция.

Интегрируя последнее уравнение, получим

где С₂(х) – произвольная функция

или

где f(x)=C₂(x), .

Исходя из общего решения дифференциального уравнения в частных производных можно найти частное решение. Для этого надо найти конкретный вид функции f и g на основании заданных условий рассматриваемой задачи.

Надо отметить, что для только малого числа дифференциальных уравнений в частных производных удается построить в явном виде общее решение. В теории дифференциальных уравнениях в частных производных созданы методы непосредственного нахождения частных решений дифференциальных уравнений, удовлетворяющих определенным начальным и граничным условиям.

Многие задачи физики и механики приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных.

Примеры:

1) Выяснить, является ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями в частных производных?

а)