Пусть дано диф. уравнение (4), разрешенное относительно производной
(6)
, и пусть (5) есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости OXY.
Уравнение (6) для каждой точки M с координатами х и у определяет значение производной 
, т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Диф. Ур. (6) определяет поле направлений на плоскости Оху.
Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегрирования диф.ур. заключается в нахождении кривых, направление касательных которых совпадает с направлением поля в соотвествующих точках.
Для диф ур (2) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение 
, называется изоклиной.
При различных значениях k получаем различные изоклины. Построив семейство изоклин можно приближенно построить семейство интегральных кривых.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка имеет вид:
;
- начальное условие.
Теорема (Теорема существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (1.3) функция 
и ее частная производная 
непрерывны в некоторой области 
, содержащей точку 
, то существует единственное решение 
этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию 
.
Уравнения 1-го порядка и методы их решений:
1.Уравнения с разделяющими переменными. Это уравнения вида (4), у которых 
, или вида (3), у которых 
и 
, где 
.
Решение. Уравнение (3) сводится к виду 
. Получим 
. Делим обе части на и интегрируем: 
или 
– общий интеграл данного уравнения.
Деление на 
может привести к потере частных решений, являющихся корнями уравнения 
. Наличие особых решений устанавливаем проверкой.
Пример 1. Решить уравнение 
при начальных условиях 
.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Перенеся 
в правую часть уравнения и учитывая, что 
, запишем:
или 
.
Разделив обе части последнего уравнения на 
, получим уравнение 
, которое уже является уравнением с разделенными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения 
.
Интеграл 
можно представить в виде
.
Получим 
.
Последнее выражение, записанное в виде 
, называется общим интегралом соответствующего дифференциального уравнения.
Для нахождения частного решения подставим в общий интеграл значения 
, 
, то есть 
, 
: 
, откуда следует, что 
.
Значит, 
или 
.
Ответ: .
2. Однородные дифференциальные уравнения. Это уравнения вида 
, в которых правую часть можно привести к виду 
. Тогда
. (1.7)
Для решения полагаем 
, где 
. Имеем 
; 
. Подставив это выражение в (1.7), получим 
или 
, т.е. уравнение с разделяющимися переменными. После решения заменим 
.
Пример 3. Решить уравнение 
.
Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением, т.к. в преобразованном виде 
правая часть является однородной функцией нулевого порядка.
Уравнение 
решаем заменой , где . Тогда . Подставив выражения для 
и 
в исходное уравнение, получим 
или 
. Последнее выражение приведем к виду 
, т.е. 
. Это уравнение с разделяющимися переменными.
Заменяя 
и упрощая правую часть последнего равенства, будем иметь 
, 
, 
, откуда 
.
Окончательно, заменяя , получим общий интеграл исходного уравнения: 
или 
.
2. Линейные неоднородные уравнения. (Линейные дифференциальные уравнения первого порядка). Это уравнения вида
, 
, (1.5)
где 
, 
– непрерывные функции на 
.
Решение. Решение ищется методом Бернулли, с помощью подстановки 
, где 
– новая неизвестная функция; 
– некоторая функция, значение которой определяется так:
; Тогда получаем 
или 
. (1.6)
Выберем так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль:
, 
. (1.7)
Решение, полученного для функции , дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:
, 
, 
В виду свободы выбора функции , можно принять 
. Отсюда
(1.8)
(1.8) подставим в (1.6). 
В результате получим для неизвестной функции 
уравнение с разделяющимися переменными.
Его решение позволяет найти исходную неизвестную функцию 
.
Пример 4. Решить уравнение 
.
Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).
Решим его методом Бернулли. Будем считать, что 
, тогда 
; эти выражения подставим в исходное уравнение
или 
.
Выберем 
так, чтобы 
или 
, откуда 
. Проинтегрировав обе части последнего уравнения, будем иметь 
. Возьмем 
, так что 
, значит 
.
Выражение подставим в уравнение , получим 
или 
, откуда 
, 
. Интегрируя по частям, найдем 
: 
.
В силу того, что , получим 
и окончательно будем иметь общее решение 
.
Уравнения Бернулли.
Уравнения вида 
называются уравнениями Бернулли.
Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка z=y-n+1 сводит уравнение (2.15) к линейному. На практике ДУ (2.15) удобнее искать методом И. Бернулли в виде y=u•v (не сводя его к линейному).
Дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения.
1. Обыкновенные диф.ур. 1-го порядка
2. Уравнение, разрешенное относительно производной.
3. Общее решение и частное решение.
4. Геометрическая интерпретация диф.ур.
5. Задача Коши для диф.ур.
6. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
7. Уравнения с разделяющимися переменными.
8. Пример 1. Решить уравнение при начальных условиях .
9. Пример 2. Решить уравнение 
с начальным условием 
.
10. Однородные диф.уравнения.
11. Пример 3. Решить уравнение
12. Линейные неоднородные уравнения.
13. Пример 4. Решить уравнение .
14. Пример 4. Решить уравнение 
.
15. Уравнения Бернулли
16. Пример 2. Решить уравнение 
с начальным условием .
