Фазовая плоскость.
Дифференциальное уравнение второго порядка
(24.4)
равносильно системе уравнений первого порядка
. (24.5)
Геометрически общее решение уравнения (24.4) или системы (24.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости 
. Особенно удобно такое представление в случае, когда функция 
не содержит явным образом независимого переменного t. Тогда система (24.5) имеет вид
(24.6)
и называется автономной системой. Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка
, (24.7)
которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой. Точки покоя. Точка 
фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой, если 
и 
дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка 
называется особой точкой, если 
и 
.Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности. Исследование особых точек системы. Если система неоднородная, а ji(t) – ее решение, то с помощью замены yi = xi(t) – ji(t) систему можно свести к однородной, причем решение ji(t) исходной системы будет соответствовать нулевому решению полученной однородной системы. Таким образом, на устойчивость исследуют нулевое решение соответствующей однородной системы. Пусть мы рассматриваем характеристическое уравнение некоторой системы: 
При n=2:
устойчивый узел
2) k 1 ¹ k 2, k 1 > 0, k 2 > 0
Неустойчивый узел
3) k 1 ¹ k 2, k 1 > 0, k 2 < 0
Седло неустойчивая
Типы точек покоя. Фокус. Центр.
Фазовая плоскость.
Дифференциальное уравнение второго порядка
(24.4)
равносильно системе уравнений первого порядка
. (24.5)
Геометрически общее решение уравнения (24.4) или системы (24.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости . Особенно удобно такое представление в случае, когда функция не содержит явным образом независимого переменного t. Тогда система (24.5) имеет вид
(24.6)
и называется автономной системой. Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка
, (24.7)
которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой. Точки покоя. Точка 
фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой, если и дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка называется особой точкой, если и .Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности. Исследование особых точек системы. Если система неоднородная, а ji(t) – ее решение, то с помощью замены yi = xi(t) – ji(t) систему можно свести к однородной, причем решение ji(t) исходной системы будет соответствовать нулевому решению полученной однородной системы. Таким образом, на устойчивость исследуют нулевое решение соответствующей однородной системы. Пусть мы рассматриваем характеристическое уравнение некоторой системы: При n=2:
центр(устойчивый) центр(устойчивый)
Центр(устойчивый)
Фокус устойчивый.
26. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
27. Задача Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. 
№28. Система дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка:
Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями, рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями
+ 8 
=0, + 2 
=0 ∞ <x< +∞ 0 <t< ∞
(x, 0) = f(x), 
(x, 0) = d(x)
Эта задача может соответствовать определению давления 
и плотности 
, как функция пространственной координаты x и времени t по известным распределениям этих величин в нач. момент.
Запишем систему уравнений в матричной форме
+ 
= 
+ A 
= 
(8.7)
A = 
= = 
=
Введение новой неизвестной функции v = 
с помощью преобразования u = pv, где p- матрица, по столбцам которой стоят собственные векторы матрицы А.
Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения:
det (A –λ E)=0
или 
= 0 ó 
– 16 = 0 
= 4 
= - 4
Найдём собственный вектор 
соответствующий собственному значению = 4 из системы
(A – E) () = 0 
= 
=1, =2 => 
Аналогично найдем вторую СВ,соот-щую = - 4
= 
= 1, = - 2 
Тогда матрица Р будет иметь вид
P= 
= 
= 
det p= 4
AP = 
= 
= 
= B
Оказалось, что после замены переменных по формуле u=pv для определения v получится очень простая система два уравнения относительно новых 
оказываются независимыми.После этого по формуле u=pv находится искомая функция 
,но сначала выясним, как выглядит система для определения v,продифференцировав обе части соотношения по u=pv получаем:
= p 
= p 
(8.8)
Теперь подставим соотношения (8.8) в систему: + A = 0
+ AP 
= 0 │*
+ A 
=0; 
+ B 
= 0 (8.9)
Раньше мы уже видели, что B 
Запишем (8.9) в развернутой форме: 
(8.10)
Получилась система из 2х несвязанных уравнений, которые решаются независимо,их решениями будут: 
+ 
=0
- 
=0 
= 
x- 4t = 
= ϕ (x-4t) 
: = 
x+4t = 
= 
(x+4t)
Для получения общего решения нужно выполнить по формуле:u=pv 
= 
= 
(x, t) = 
(x, t) = 
Решается задание Коши:
│
4 
= 
+2 
(x) = 
(f(x)+2g(x)) 4 Ψ(x)= 2 
, Ψ(x)= (2g(x)- f(x)) =>
Ответ: (x, t) = 
(f(x-4t)+2g(x-4t))- (2g(x+4t)-f(x+4t)) (x, t) = (f(x-4t)+2g(x-4t)+ (2g(x+4t)-f(x+4t))
Замечание: часто численные методы ориентированы на решение систем уравнений, а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему ур-ний первого порядка.
29.Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда.
