1. . t=0 S(0)=0, V(0)=V0 a(t)=a. S(t) V(t) , t, t, S′(t)=V(t) V′(t)=a(t)=a. .., - S(t) - . S′′(t)=a. , .
.
.
2. . m F(t). . a(t)=S′′(t), - S(t) - . . . . , , F(t)=P=mg S′′(t)=g. , Fc(t)=kV(t), , , F(t)=mg-Fc(t)=mg−kV(t). . ( V0=0) - -
3. . , / (1,2) -: , / , . / y(x) M(x0,y0) - . y-y(x0)=y(x0)(x-x0). .
xB=0, yC=0.
. BC,
.. x0 - , - .
- y(x)=C/x . .. / (1,2), x=1 y=2, =2. - y=2/x.
2.. : , , , . . . (1)
(1) y=f(x,y) .
. . y=f(x,y) - f(x,y) D , (0,0), , 0=y(x0).
: (0, 0) ( ).
, = 0 0, .
- :
|
|
1. ; 2. (0,0).
(,,)=0 .
- , =0. (,,0)=0 .
3. : , . .
, , .. (,) , , , .
. , : y=f(x,y) (1')
. .
(1') (,) , .. , / . .., (1') .
, . , .
4. . . . (x)dx+q(y)dy=0 .
()+Q()= - .
1() N1() dx + 2() N2(y)dy = 0 , 1, 2 [a,b], N1, N2 [c,d]. N1(0)=0, =0 - . , 2(0)=0, =0 - . N1()2()≠0,
.
:
.
5. I . . . - f(x,) - n - , λ
.
, f(x,) .
.
. f(x,) - .
1-
, - f(x,) - .
: y=Ux, U=U(x), ,
=g(U)-U
, - . U ,
.
(U) - ,
x=u+ , y= , -
, .
.
: y=Ux,
; ;
;
;
; .
6. I , . . .
, - () Q(x) (,b).
. : y=uv, u=u(x), v=v(x), y=uv+uv. : uv+uv+
|
|
1)
;
.
1) ;
;
; ;
.
- - -
;
:
,
-
() Q() - (,b),
(#)
(#)
- z.
.
,
- .
.
z=uv;z=uv+uv,
1) ;
;
2)
)
7. . . . M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) , (,) N(,) - - D -,
, (1) , (2), - (2) (1) u(x,), .. (1) du(x,y)=0 u(,) = .
, - , :
.
(2) , (1) u(,). :
,
0 - . :
.
,
.
.., - u(,) :
:
(x0,y0) , M N .
.
1)
2)
8. , . n- :
. (*)
(*) y(n)
1).
. , :
.
:
2) .
, :
2- y .
.
. : .
,
3) x.
..
2- . . :
.
, ,
,
9. : , .
11. II : .
(1)
1. - *
(2)
-. ,
(3) - .
(1) :
(4)
.. - (2),
.. * - (1),
, (4) . .. .
, (3) - (1), .. , , :
x0, 0 (x0 , a1, 2, f(x) ).
2 - (2), C1, 2 - . (3)
1 2.
- y1 2 =0. .. - , C1 2, (3) (1), . .
12. II : - , . 2-
|
|
(*)
q - .
= k, k = const;
(*):
.. , , - (*).
, : k1 k2.
:
I. k1 k2 , ;
:
, ..
II. k1 k2 - ;
:
:
(#)
, . =0, (*)
.
(#)
III. k1 k2 - .
: ,
: .
13. II : .
(*)
q - .
. :
, α β - , n() Qm() - n - m - , :
r = ; Rl() Tl(x) - l , .
.
f(x):
1)
2) , A
3)
4)
5)
6) , .
: . :
) α
. :
:
(*):
- n
- n-1
- n-2
.., n - . ( = n+1), n+1 0, 1, 2,..., n.
) α .
) α - .
14. : , , . - 1=1(), 2=2(), , n=n() - , , - 1, 2, , n .
:
- . - - 1, 2, , n, :
: =(t), =(t), z=z(t).
: .
t :
f1, f2, f3 (*):
, :
:
- =(t), z=z(t), , t :
(#)
, 3- =(t):
.
2 , - t, 1, 2, 3.
- (#), (t), z(t):
.
|
|
.
, i =1, 2, 3 D :
. ,
.