Устойчивость САУ. Определение устойчивости ЛНС САУ 1-го порядка по дифференциальному уравнению. Определение устойчивости ЛНС САУ n-го порядка по дифференциальному уравнению. Качественный критерий устойчивости Ляпунова А.М. Определение устойчивости системы по характеристическим уравнениям. Алгебраический критерий устойчивости (Рауса-Гурвица). Амплитудно-фазовый критерий Найквиста. Определение устойчивости системы по логарифмическим характеристикам. Частотный критерий Михайлова А.В.
Понятие устойчивости связано со способностью системы возвращаться в исходное состояние равновесия после исчезновения внешних возмущающих сил, прилагаемых к системе. Если при отсутствии входного сигнала x(t) выходной сигнал 
не меняется, то такие состояния называются состоянием равновесия. В ЛНСУ это состояние можно оценить тремя способами:
1. Путем анализа корней дифура САУ в «свободном» состоянии.
2. Путем анализа корней характеристического уравнения САУ.
3. С помощью различных критериев устойчивости.
Определение устойчивости ЛНС САУ 1-го порядка по дифференциальному уравнению (1-ый способ):
САУ 1-го порядка описывается следующим уравнением:
или
Если x(t) = 0, то говорят что система «свободна». Если y(t) не меняется, то dy(t) / dt = 0, и, как следует из уравнения, y(t)=0. Таким образом, равновесие в системе достигается при y(t)=0.
Для определения устойчивости нужно решить предыдущее уравнение, положив x(t) = 0 и переписав его в операторной форме:
. Проведя преобразования, получим:
Заменяя изображение оригиналом, получим:
, где
- начальные условия, т. е. начальное отклонение от равновесного состояния.. При k>0 и t, стремящемся к бесконечности, следует, что y(t) стремится к нулю, т.е. отклонение системы от равновесия со временем станет нулевым. Следовательно, система устойчива.
При k<0 система неустойчива. График показан на рисунке.
Определение устойчивости ЛНС САУ n-го порядка по дифференциальному уравнению (1-ый способ):
Система n-го порядка описывается уравнением n-го порядка:
При x(t)=0 система находится в свободном состоянии и её уравнение:
В физических системах коэффициенты уравнения действительны и решение имеет вид:
Состояние системы устойчиво, если все 
- отрицательны.
Если хотя-бы один коэффициент положителен, то система неустойчива.
Таким образом, ЛНС САУ любого порядка устойчива, если корни решения дифура системы в свободном состоянии стремятся к нулю при 
.
Качественный критерий устойчивости Ляпунова А.М.
Определение устойчивости методом Ляпунова А.М. заключается в следующем:
Для определения устойчиво ли состояние равновесия необходимо к системе приложить возмущение и рассмотреть движение системы после снятия возмущения. Устойчивая ЛН САУ стремится к исходному состоянию. Неустойчивая САУ– удаляется от состояния равновесия. Реальная неустойчивая система со временем переходит в нелинейный режим и возникают автоколебания.
